Теорема 2.4. (Формула включений и исключений).

Для конечных множеств , справедлива формула включений и исключений.

(2.3.3.)

В частности для двух множеств эта формула примет вид:

.

Для трех множеств формула включений и исключений примет вид:

.

Название этой теоремы подчеркивает использование последовательных включений и исключений элементов подмножеств.

Пример 2.8. Сколько положительных целых чисел, меньших 1001, делятся на 2, 3 или 5?

Решение. Пусть X – множество положительных целых чисел, которые делятся на 2, 3 или 5. Рассмотри три подмножества X₁, X₂ и X₃ множества X.

X₁ – множество положительных целых чисел, которые делятся на 2. Число элементов или мощность этого множества равно .

X₂ – множество положительных целых чисел, которые делятся на 3. Число элементов или мощность этого множества равно .

X₃ – множество положительных целых чисел, которые делятся на 5. Число элементов или мощность этого множества равно .

Тогда множество X₁ÇX₂ – множество положительных целых чисел, которые делятся на 2 или 3. Число элементов или мощность этого множества равно . Множество X₁ÇX₃ – множество положительных целых чисел, которые делятся на 2 или 5. Число элементов или мощность этого множества равно . Множество X₂ÇX₃ – множество положительных целых чисел, которые делятся на 3 или 5. Число элементов или мощность этого множества равно .

Множество X₁ÇX₂ÇX₃ – множество положительных целых чисел, которые делятся на 2, 3 или 5. Число элементов или мощность этого множества равно .

Воспользуемся формулой включения и исключения, чтобы найти число элементов множества X. Получаем

,