Доказательство.

, .

Законы коммутативности и ассоциативности легко распространяются на случай объединения (пересечения) любого конечного числа множеств. Именно, в какой бы последовательности не объединялись (пересекались) данные множества , в результате получится одно и тоже множество, которое обозначается . Объединение состоит из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из данных множеств (пересечение содержит те и только те элементы, которые входят во все множества одновременно).

Запишем обобщение законов дистрибутивности и де Моргана

Пример.Из 100 студентов английский язык знают 28 человек, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, все языки знают 3 человека. Сколько человек не знают ни одного языка? Сколько человек знают в точности два языка? Сколько человек знают английский или французский языки, но не знают немецкий?

Решение. Построим диаграмму Венна (рис. 4.). Универсум U – это множество всех студентов, A₁ - множество студентов, знающих английский язык; A₂ - множество студентов, знающих немецкий язык; A₃ - множество студентов, знающих французский язык. Области в общем случае разбивают прямоугольник универсума на 8 областей. Внутри каждой области записано число элементов, лежащих в этой области (мощность соответствующего множества). Известно, что

Нужно найти , , .

Рис. 4

; ; .