Последовательность и ее предел

Дифференциальное исчисление

Функции одной переменной

Последовательность и ее предел

Определение. Число a называется пределом последовательности при (обозначается ), если для любого сколь угодно малого числа существует число такое, что при любом выполняется неравенство . При этом сама последовательность называется сходящейся. Число может быть как натуральным, так и вещественным.

Модульное неравенство эквивалентно неравенству . Поэтому определение 1 выражает следующий факт: если число то при любом , каким бы малым оно не было, интервалу принадлежат все члены последовательности a_n с номерами большими N(e) (рис.1). Вне интервала , называемого e-окрестностью числа a, лежит тем самым лишь конечное число членов последовательности.

Таким образом, точка a является точкой сгущения членов последовательности, к которой они неограниченно близко приближаются при росте номера n.

Определение. Если то последовательность называется бесконечномалой.

Последовательность, имеющая конечный предел, является ограниченной, т.е. существует число такое, что для всех n выполняется неравенство

В определении 1 предел последовательности а - конечное число. Дадим определение бесконечного предела, используя определение бесконечно большой последовательности.

Определение. Последовательность называется бесконечнобольшой, если для любого сколь угодно большого числа найдется число такое, что при всех выполняется неравенство

Определение. Если последовательность является бесконечно большой, то ее предел считается бесконечностью, т.е. (или , или ).

Для нахождения пределов последовательностей используются теоремы 1 - 3.

Теорема 1 (об арифметических свойствах предела). Пусть где a и b - конечные числа. Тогда:

1)

2)

3)

В частном случае, если , где , то и .

Приведенная теорема облегчает вычисление пределов. Однако возможны случаи, когда теорема не применима.

1. Если и , то говорят, что выражение при представляет неопределенность вида ¥ – ¥, при этом считается, что и стремятся к бесконечности одного знака.

2. Если , а , то выражение при представляет неопределенность вида .

3. Если , , то выражение при представляет неопределенность вида .

4. Если и , то выражение при представляет неопределенность вида .

В зависимости от частных законов изменения членов и обеих последовательностей и предел рассматриваемых четырех выражений может иметь различные значения или даже не существовать. В этих случаях при вычислении предела надо сначала с помощью алгебраических преобразований записать и в другой форме, а потом применить теорему 1.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 3. Частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 4.Пусть и выполняется неравенство при любых . Тогда .