Вычисление предела последовательности по определению

Рассмотрим следующее задание. Дана последовательность , необходимо:

1) написать , установить тенденцию изменения с ростом номера и, с ее учетом, предполагаемое значение предела ;

2) доказать, что , используя определение предела последовательности и определить ближайшее к натуральное число, не превосходящее его, которое называется целой частью и обозначается , взяв в качестве e: 1) 0,1; 2) 0,01.

Приведем решения примеров.

Пример 1.1.

Решение. 1. Последовательно вместо n подставим в выражение для значения n = 1, 10, 25, 100, 1025, получаем:

Мы видим, что с ростом номера стремится к числу 2, которое и будет предполагаемым значением предела.

2. Для любого e > 0 должно выполняться условие , т.е.

Решим последнее неравенство относительно n, получим . Отсюда следует, что в качестве [N(e)] можно взять значение .

Если e = 0,1, то [N(e)] = 10; если e = 0,01, то [N(e)] = 100.

Пример 1.2.

Решение. 1. Подставив последовательно в выражение для значения n = 1, 10, 25, 100, 1025, получим:

С ростом номера стремится к числу , которое и будет предполагаемым значением предела.

2. Для любого e > 0 должно выполняться неравенство т.е.

Усилим левую часть неравенства, заменив числитель 5n – 3 на больший числитель 5n, а знаменатель на меньший знаменатель , тогда . Разрешим последнее неравенство относительно n, получим В качестве [N(e)] можно взять значение .

Если e = 0,1, то ; если e = 0,01, то .

Пример 1.3. .

Решение. 1. Подставив в формулу для значения n = 1, 10, 25, 100, 1025, получим:

С ростом номера стремится к числу 0, которое и будет предполагаемым значением предела.

Заметим, что стремление к нулю объясняется тем, что числитель дроби всегда заключен в пределах , а знаменатель неограниченно увеличивается.

2. Для любого e должно выполняться условие .

Упростим это выражение:

Решим неравенство относительно n, получим . За [N(e)] выберем .

4. Если e = 0,1, то [N(e)] = 100; если e = 0,01, то [N(e)] = 10000.

Пример 1.4. .

Решение. 1. Подставив в формулу для значения n = 1, 10, 25, 100, 1025, получим:

С ростом номера стремится к числу 1, которое и будет предполагаемым значением предела.

2. Для любого e > 0 должно выполняться условие или .

Преобразуем левую часть, умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю:

Заменим знаменатель на меньший тогда нужно доказать неравенство . Проведем дальнейшие упрощения, снова уменьшив знаменатель, тогда получим квадратное
неравенство

Решим его.

Дискриминант , корни (корень n₂ < 0 не соответствует условиям примера). Получим неравенство n > n₁, т.е. .

В качестве [N(e)] выберем .

4. Если e = 0,1, то [N(e)] = 52; если e = 0,01, то [N(e)] = 502.