Вычисление предела последовательности с помощью теоремы об арифметических свойствах предела. Раскрытие неопределенностей

Рассмотрим следующее задание: вычислить предел последовательности, раскрыв неопределенность и используя теоремы 1 - 4.

Приведем решения примеров.

Пример 1.5.

Решение. При и первый, и второй корень стремятся к +¥, предел их разности представляет неопределенность вида (¥ – ¥). Чтобы раскрыть ee, умножим и разделим на сопряженное выражение , тогда:

Предел последнего выражения является неопределенностью вида . Чтобы раскрыть ее, поделим числитель и знаменатель на n,
получим:

Теперь уже применима теорема 2.1:

Пример 1.6.

Решение. Предел выражения в скобках представляет неопределенность вида (¥ – ¥).

Для ее раскрытия домножим и разделим это выражение на неполный квадрат суммы:

Получили неопределенность вида . Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель на , тогда, применив теорему 1, получим:

Пример 1.7.

Решение. Приведем все дроби в скобках к общему знаменателю В числителе стоит сумма n – 1-го члена арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, разностью, равной 1, и последним членом, равным n – 1. Эта сумма составляет

Тогда

Пример 1.8.

Решение. Выражение в скобках представляет сумму членов геометрической прогрессии с первым членом , последним членом и знаменателем . Эта сумма равна (всего членов в скобках n) Тогда: так как (по теореме 3 как предел частного от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую).

Пример 1.9.

Решение. Числитель и знаменатель стремятся к бесконечности при n ® ¥; имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на , получим: Теперь можно применить теорему 2:

Пример 1.10.

Решение. Числитель при любом n является ограниченной последовательностью, так как . Знаменатель стремится к бесконечности. Частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую согласно теореме 3 стремится к нулю при n ® ¥, поэтому

Пример 1.11.

Решение. Преобразуем следующим образом:

тогда так как

и

Аналогично решаются задачи для самостоятельного решения 1.3, 1.4, приведенные ниже.