Определение числовой последовательности

Вопрос №1. Понятие числовой последовательности, виды последовательностей. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей и связь между ними.

Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел:

1, 2, 3, … , n –1, n, … .

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом u_n следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:

u₁ , u₂ , u₃ , …, u_{n - 1} , u_n , …, кратко обозначаемый { u_n }

и называемый числовой последовательностью. Величина u_n называется общим членом последовательности.

Обратите внимание на два момента.

1. В последовательности бесконечно многочисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!

2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.

Определение числовой последовательности

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (элементов), имеющих определенные номера. Эти числа являются членами последовательности: x₁ - первый член, x₂ - второй член, ... , x_n - n-ый член.

Если x_n=const, то последовательность называется постоянной.

Например: 5, 5, 5, 5, … Каждый последующий член равен предыдущему. Такую последовательность задают так: х_n =5.

Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой

u_n = f (n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n ;эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний пример).

П р и м е р ы числовых последовательностей:

1, 2, 3, 4, 5, … - ряд натуральных чисел: х_n = n

2, 4, 6, 8, 10, … - ряд чётных чисел: x_n = 2n

1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … - числовая последовательность

приближённых значений с увеличивающейся точностью. В этом случае невозможно записать формулу общего члена последовательности.