Вопрос №2. Понятие предела числовой последовательности

Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала ( a- ; a+ ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Например, составим последовательность десятичных дробей:

0,9; 0,99; 0,999; ... .

Здесь каждый член получается из предыдущего приписыванием нового десятичного знака 9.

Легко заметить, что члены этой последовательности неограниченно приближаются к единице.

Именно, первый член отличается от единицы на 0,1, второй на 0,01, третий на 0,001, и если достаточно продолжить эту последовательность, то можно найти в ней член, начиная с которого все последующие члены будут отличаться от единицы на сколь угодно малую, заранее указанную величину. Следовательно, мы можем сказать, что взятая нами бесконечная числовая последовательность имеет пределом единицу.

Легко заметить, что не всякая бесконечная последовательность имеет предел; например, натуральный ряд чисел:

1, 2, 3, 4, 5.....

очевидно, никакого предела не имеет, так как его члены неограниченно возрастают и ни к какому числу не приближаются.