Аргумент от непротиворечивости

Это один из самых древних видов аргументации. Давид Гильберт не был первым, кто указал на особую роль аргумента от непротиворечивости в вопросах обоснования. В европейскую науку его ввели, по-видимому, элеаты. Во всяком случае, по свидетельству Филопона, отстаивая модель умопостигаемой реальности, именно Парменид и его сторонники ставили во главу угла непротиворечивость теории. Им же принадлежит и первый “штриховой портрет” аргументирующего рассуждения, использующего дедуктивные свойства противоречия. Я имею в виду “уличающие аргументы” Зенона Элейского, его апории, основанные на этом способе логической аргументации. Правда, логическая форма зеноновских аргументов {а именно: ((A É Ø А)É Ø А)} была эксплицирована много позднее в школе Платона. Еще позднее Аристотель не только явно сформулировал закон противоречия, но (по свидетельству Александра Афродизийского) дал симметричную зеноновской формулировку косвенного аргумента, которым воспользовался Евклид {“Начала”, кн. IX, теорема 12: ((Ø А É А) É А)} и который получил впоследствии (в позднем средневековье) название “тонкое следование” (consequentia mirabilis).

Современное развитие темы противоречия привело к разделению косвенной аргументации на различные степени косвенности и к размежеванию логики на классическую, допускающую свободное использование всех форм аргументации от противоречащего случая, и интуиционистскую (конструктивную), допускающую, вообще говоря, только одну ее форму — доказательство отрицательных суждений через построение, приводящее к противоречию гипотезы об истинности положительной посылки рассуждения.

Выше я упомянул об абсолютном характере логического обоснования. Но, вообще говоря, обоснование посредством логической дедукции относительно по меньшей мере вот в каком смысле: это обоснование одного суждения с помощью другого (или других) в границах замкнутой дедуктивной системы. Абсолютность выражается здесь только в приведении импликативного отношения основания и следствия (посылки и заключения) к форме логического закона. Исключая посылки (гипотезы), мы релятивизируем факт аргументации. Введение закона противоречия в такую теорию, расширяя возможности обоснования “внутри нее” посредством опровержений, все же сохраняет status quo. Поэтому возникает проблема обоснования и оправдания самой теории. На смену проблемы “непротиворечия в выводах” приходит проблема непротиворечивости теории в целом в качестве критерия ее практической значимости, поскольку непротиворечивость абстрактной теории влечет возможность ее модельной выполнимости (теорема Левенгейма — Скулема), то есть создает условия для изучения модели (если такая будет указана) средствами логики этой теории. Одновременно в силу наличия модели непротиворечивость означает также логическую возможность считать такую теорию осмысленной.

Однако непротиворечивость теории, указывая на возможность модели для этой теории, одновременно указывает и на границы применимости ее основных абстракций, поскольку для большинства дедуктивных теорий с достаточно простым понятием выводимости их непротиворечивость влечет их неполноту, то есть указывает на факт существования суждений, формализуемых в языке данной теории, но недоказуемых в ней. Об этом говорит первая теорема Геделя. Почти все теоретически значимые дедуктивные теории (с известной оговоркой за исключением чистой логики) отличаются их неполнотой. В этом заключен интервальный смысл всякой достаточно богатой содержательной теории. Ведь совместная реализация непротиворечивости и полноты была бы свидетельством абсолютной самообоснованности их основных абстракций. На деле же непротиворечивость таких теорий может быть обоснована только средствами, которые не являются собственными средствами этих теорий — не формализуемы (не выразимы) в них. Об этом говорит вторая теорема Геделя.