Непротиворечивость и интервальность

Как бы ни было велико его значение, факт непротиворечивости не следует рассматривать как априорное условие научной ценности теории. Научную ценность могут представлять и противоречивые, но нетривиальные теории. Если в числе теорем (аксиом) теории отсутствует ex faiso sequitur quodlibet, то противоречивость не обесценивает ни понятие теоремы теории, ни понятие доказательства в ней. В этом случае наличие противоречия становится всего лишьпосторонней посылкой[cxxv], которая не влияет на законные выводы этой теории. Поэтому тот, для кого программа изучения доказательств противоречивых теорий может представлять научный или философский интерес, не исключает из общей теории дедуктивных систем и изучение противоречивых систем, мотивируя это тем, что такое изучение может содействовать изучению общих дедуктивных свойств непротиворечивости теорий или нахождению новых методов доказательства непротиворечивости.

Наиболее глубокая трактовка связывает вопрос о непротиворечивости с вопросом о допустимых способах рассуждений, а не только с принципиальной недопустимостью противоречий. Способов рассуждений, допустимых, так сказать, абсолютно, не существует. Обычно их допустимость определяется характером “логики вещей”, о которых рассуждают (или хотят рассуждать). Чтобы судить о наличии противоречия, необходимо располагать средствами получения противоречий и более того — знанием о достижимости противоречия этими средствами. К примеру, непредикативные определения сам Рассел рассматривал как средства получения антиномий, а парадокс Рассела — как свидетельство достижимости антиномий этими средствами. Вопрос о допустимости непредикативных определений долгое время был предметом острых дискуссий между Расселом, Цермело и Пеано, с одной стороны, и Пуанкаре — с другой.

Как известно, “критерий основания” Протагора связывал допустимость с мнением человека, однако не уточнял основания для этого мнения. Уже Платон на это заметил, что основание не должно быть произвольным или заключаться в субъективной воле человека, иначе придется признать законность противоречий. Эта мысль Платона была развита в аристотелевском логическом принципе противоречия и, — уже в современной логике (школой Гильберта), — в методологическом требовании доказательства “абсолютной непротиворечивости” математических теорий. Но вполне уместная в области “истин разума” идея непротиворечивости не всегда оправдана в области “фактических истин”. Перенесенная из области логики, где непротиворечивость обосновывалась запасом теоретико-множественных средств, в другие области знания, основанные на других абстракциях, она породила особый “стиль мышления”, игнорирующий диалектику интервальных ситуаций, в которых критерий Протагора, понятый, однако, более широко, как относительность истины к условиям и средствам ее познания, оказывается весьма существенным. Именно поэтому многие рассуждения, приводящие к парадоксам, но в остальном безупречные, по существу только демонстрируют интервальный характер связанных с ними гносеологических ситуаций. Таковы, в частности, известные апории Зенона Элейского или так называемый софизм “куча”: “Одно зерно — не куча. Если n зерен не куча, то п + 1 — тоже не куча. Следовательно, любое число зерен — не куча”. Это лишь один из парадоксов транзитивности,возникающих в ситуациях неразличимости (или интервального равенства). Последняя служит типичным примером интервальной ситуации, в которой свойство транзитивности равенства при переходе от одного интервала неразличимости к другому, вообще говоря, не сохраняется. Поэтому принцип математической индукции в этой ситуации неприменим. Стремление усматривать в такого рода ситуациях свойственное опыту “нетерпимое противоречие” (А.Пуанкаре), которое теоретическая мысль преодолевает в абстрактном понятии математического континуума, не обосновано общим доказательством устранимости подобного рода ситуаций в сфере теоретического (в частности, математического) мышления и опыта. Достаточно сказать, что практика применения столь важных в этой сфере законов тождества так же, вообще говоря, как и в сфере опыта, зависит от того, какой смысл вкладывают в выражение “один и тот же объект”, какими средствами или критериями при этом пользуются. К примеру, далеко не всегда нам удается абстракцию неразличимости заменить абстракцией отождествления. А только в этом случае и можно рассчитывать на “преодоление” противоречий типа парадокса транзитивности.