Метод Жордана - Гаусса численного решения СЛАУ

Метод Гаусса решения системы совместных линейных уравнений заключается в последовательном исключении переменных для приведения матрицы коэффициентов А на первом этапе к треугольной матрице, и на втором этапе к диагональной с помощью элементарных преобразований.

Выпишем расширенную матрицу системы

Исключение производится путем выполнения над данной матрицы, совокупности элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями называются следующие действия с матрицами: перестановка строк;умножение строки на число, отличное от нуля;сложение строки с другой строкой, умноженной на число.

Надо заметить, что при решении системы уравнений, в отличие от вычисления определителя и нахождения ранга, нельзя оперировать со столбцами, только со строками.

Цель алгоритма - с помощью применения последовательности элементарных операций к расширенной матрице добиться, чтобы каждая строка, кроме первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке стало больше, чем в предыдущей, т.е. чтобы матрица имела вид

Удобно при этом использовать метод ведущей строки, суть которого состоит в том, что в одной строке матрицы с помощью элементарных операций первый элемент преобразовывают в единицу, и все последующие преобразования матрицы выполняют, опираясь на эту строку (схема единственного деления).

После приведения матрицы к треугольному виду применяют, так называемый, обратный ход метода Гаусса. По матрице составляем систему уравнений. В левой части оставляем неизвестные с номерами, соответствующими первым ненулевым элементам в каждой строке, то есть . Остальные неизвестные переносим в правую часть. В итоге получаем систему уравнений следующего вида, из которой и находим решения системы:

Пример:Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Решение : Построим расширенную матрицу

1. Далее следуют элементарные преобразования данной матрицы:

Первую строку умножим на 3 и вычтем результат из второй, а затем на 2 и вычтем результат из третьей строки

Третью строку умножим на 2 и вычтем результат из второй строки

Вторую строку умножим на 3 и сложим результат с третьей строкой

2. Метод Жордана-Гаусса ( матрицу А* приведем к диагональному виду) :

Откуда находим корни данной системы уравнений: