Численное решение СЛАУ с помощью обратной матрицы

Обратная матрица для матрицы А обозначается . Из определения обратной матрицы следует, что матрица А является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы А и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

Если матрица А имеет обратную, то . Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель матрицы нулю или нет, то введем следующие определения:

· Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей, если , и невырожденной или неособенной матрицей, если

· Если обратная матрица существует, то она единственна.

· Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и

где - алгебраические дополнения к элементам , которые вместе составляют т.н. союзную или присоединенную матрицу.

Итак обратная матрица для квадратной матрицы А существует тогда и только тогда, когда матрица А - невырожденная, обратная матрица единственна и справедлива формула:

,

где Е – единичная матрица,

А^-1 – матрица, обратная исходной матрице системы

А – исходная матрица.

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1) Находим определитель матрицы

2) Если определитель не равен нулю (матрица невырожденная), то находим алгебраические дополнения элемпентов матрицы А, используя формулу:

,

где - миноры элементов матрицы А

3) Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй -- строке:

Таким образом, алгоритм решения СЛАУ с помощью обратных матриц выглядит следующим образом:

1) Для системы уравнений

записываем матрицы системы и матрицы-столбцы правых частей уравнений и неизвестных

2) Проверяем матрицу системы на вырожденность/невырожденность (нахождение определителя и сравнение его с нулем)

3) Если матрица невырожденная (определитель не равен нулю), находится матрица, обратная исходной

4) Используя формулу , находятся решения системы уравнений

Пример расчета:

1. Дана система линейных уравнений

2. Записываем матрицы системы и матриц-столбцов правых частей уравнений и неизвестных

3. Находим определитель

Так как , то матрица - невырожденная, и обратная для нее существует.

4. Находим алгебраические дополнения и построим присоединенную матрицу:

5. Составляем обратную матрицу, транспонируя присоединенную матрицу, то есть размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй -- строке:

6. Используя формулу , находим корни системы уравнений

Ответ:

Х=