![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, которое не содержит производных выше первого порядка от неизвестной функции.
Рассмотрим пример решения дифференциального уравнения первого порядка:
где Параметр k имеет три различных значения: 1) k=2, 2) k=10, 3) Необходимо построить следующие графики: 1. x(t) при k=2, 2. x(t) при k=10, 3. Совместить на одном графике зависимости x(t) при k=2, k=10, 4. x(t) при k=k(t), 5. Совместить на одном графике зависимости x(t) при k=2, k=10, k=k(t) на интервале
1. k=2 Прежде чем приступить к решению ДУ в среде MathCAD, необходимо выполнить следующие действия: 1.1 Выразить первую производную из уравнения (1).
1.2 Ввести переобозначения:
После этого переходим к работе в окне программы MathCAD.
1.3 Задаем численные значений констант
1.4 Задаем начальные условия с учетом переобозначения (3). Для задания индекса используется вкладка Matrix.
1.5 Вводим функцию
1.6 Используем функцию rkfixed для решения ДУ, выбирая ее из списка встроенных функций вкладки Insert Function В результате решения получается матрица Z, имеющая два следующих столбца: Z<0> - первый столбец, содержащий точки, в которых решается дифференциальное уравнение: Z<0>=t. Z<1> - второй столбец, содержащий значения найденного решения в соответствующих точках: Z<1>=x. Для выведения матрицы Z на экран необходимо написать Z=. После этого программа автоматически сформирует матрицу.
1.7 Строим график функции
По оси абсцисс задаем t как Z<0>, по оси ординат x как Z<1>. Для задания номера столбца матрицы на вкладке Matrix выбираем функцию Matrix Column.
Полученный график приведен на рисунке 1. Рисунок 1 График зависимости x(t)
1.8 Редактируем график, для чего выполняем на нем двойной щелчок левой клавишей мыши. При этом появляется окно параметров. На вкладке X-Y Axes необходимо поставить галочки в пунктах Grid Lines по двум осям, что позволит отображать на графике сетку координат.
На вкладке Traces можно редактировать стиль (Symbol, Line), цвет (Color) и толщину (Weight) линии графика, выбирая нужные параметры из раскрывающихся списков. Изменим толщину линии trace 1 с 1 на 2. После редактирования параметров графика нажимаем ОК. График принимает вид, показанный на рисунке 2. Рисунок 2 Отредактированный график зависимости x(t)
Листинг программы решения ДУ первого порядка в среде MathCAD показан на рисунке 3. Рисунок 3 Листинг программы решения ДУ первого порядка при k=2
2. k=10 Для того, чтобы решить ДУ при параметре 1.9 Присвоить параметру k новое численное значение. 1.10 Повторить пункты 1.5 и 1.6, только вместо матрицы Z использовать матрицу Q. 1.11 Построить график зависимости x(t) в соответствии с пунктами 1.7, 1.8. Листинг программы приведен на рисунке 4. Рисунок 4 Листинг программы решения ДУ первого порядка при k=10
1.12 Для того, чтобы построить два графика x(t) при k=2 и k=10 в одной системе координат, необходимо при задании координатных осей указать через запятую соответствующие столбцы двух матриц (рисунок 5).
![]() Рисунок 5 Графики зависимости x(t): 1 - при k=2; 2 – при k=10
3. Рассмотрим случай, когда параметр k является функцией от времени k(t).
1.13 Для присваивания параметру k двух значений в зависимости от времени t необходимо использовать операцию Add Line вкладки Programming.
1.14 В верхней строке указываем первое значение параметра k=5 в соответствии с системой (5). Для задания условия, при котором k=5,на вкладке Programming выбирается оператор if.
1.15 Затем в строке задаем условие
1.16 Во второй строке задаем второе значение параметра k=20. Так как в системе (5) всего два условия, то второе условие выполняется в том случае, если не выполняется первое. Поэтому при формировании второго условия можно воспользоваться оператором otherwise вкладки Programming.
1.17 После задания значений параметра k необходимо повторить пункты 1.5 и 1.6, используя матрицу Р, и построить график зависимости x(t) (пункты 1.7, 1.8).
Рисунок 6 Листинг программы решения ДУ первого порядка при k=k(t)
1.18 Совмещаем три графика на одном и задаем границы по осям абсцисс и ординат так, чтобы увеличить график на интервале t=[3,5] (рисунок 7).
![]() ![]() ![]()
![]() Рисунок 7 Графики зависимости x(t) на интервале t=[3,5]: 1 – при k=2; 2 – при k=10; 3 – при k=k(t)
|