Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, которое не содержит производных выше первого порядка от неизвестной функции.

Рассмотрим пример решения дифференциального уравнения первого порядка:

, (1)

где , , на интервале , , с начальными условиями: .

Параметр k имеет три различных значения:

1) k=2,

2) k=10,

3) .

Необходимо построить следующие графики:

1. x(t) при k=2,

2. x(t) при k=10,

3. Совместить на одном графике зависимости x(t) при k=2, k=10,

4. x(t) при k=k(t),

5. Совместить на одном графике зависимости x(t) при k=2, k=10, k=k(t) на интервале .

1. k=2

Прежде чем приступить к решению ДУ в среде MathCAD, необходимо выполнить следующие действия:

1.1 Выразить первую производную из уравнения (1).

(2)

1.2 Ввести переобозначения:

, (3)

. (4)

После этого переходим к работе в окне программы MathCAD.

1.3 Задаем численные значений констант . Для этого используется операция присваивания на вкладке Evaluation.

1.4 Задаем начальные условия с учетом переобозначения (3). Для задания индекса используется вкладка Matrix.

1.5 Вводим функцию , которая является функцией двух аргументов . Функция представляет собой выражение для первой производной (2), записанное с учетом переобозначений (3) и (4).

1.6 Используем функцию rkfixed для решения ДУ, выбирая ее из списка встроенных функций вкладки Insert Function , расположенной на верхней панели управления.

В результате решения получается матрица Z, имеющая два следующих столбца:

Z^<0> - первый столбец, содержащий точки, в которых решается дифференциальное уравнение: Z^<0>=t.

Z^<1> - второй столбец, содержащий значения найденного решения в соответствующих точках: Z^<1>=x.

Для выведения матрицы Z на экран необходимо написать Z=. После этого программа автоматически сформирует матрицу.

1.7 Строим график функции , которая в матричном виде записывается как Z^<1>(Z^<0>). Для этого на вкладке Graph выбираем двумерный график X-Y Plot.

По оси абсцисс задаем t как Z^<0>, по оси ординат x как Z^<1>. Для задания номера столбца матрицы на вкладке Matrix выбираем функцию Matrix Column.

Полученный график приведен на рисунке 1.

Рисунок 1 График зависимости x(t)

1.8 Редактируем график, для чего выполняем на нем двойной щелчок левой клавишей мыши. При этом появляется окно параметров. На вкладке X-Y Axes необходимо поставить галочки в пунктах Grid Lines по двум осям, что позволит отображать на графике сетку координат.

На вкладке Traces можно редактировать стиль (Symbol, Line), цвет (Color) и толщину (Weight) линии графика, выбирая нужные параметры из раскрывающихся списков. Изменим толщину линии trace 1 с 1 на 2.

После редактирования параметров графика нажимаем ОК. График принимает вид, показанный на рисунке 2.

Рисунок 2 Отредактированный график зависимости x(t)

Листинг программы решения ДУ первого порядка в среде MathCAD показан на рисунке 3.

Рисунок 3 Листинг программы решения ДУ первого порядка при k=2

2. k=10

Для того, чтобы решить ДУ при параметре , необходимо:

1.9 Присвоить параметру k новое численное значение.

1.10 Повторить пункты 1.5 и 1.6, только вместо матрицы Z использовать матрицу Q.

1.11 Построить график зависимости x(t) в соответствии с пунктами 1.7, 1.8.

Листинг программы приведен на рисунке 4.

Рисунок 4 Листинг программы решения ДУ первого порядка при k=10

1.12 Для того, чтобы построить два графика x(t) при k=2 и k=10 в одной системе координат, необходимо при задании координатных осей указать через запятую соответствующие столбцы двух матриц (рисунок 5).

Рисунок 5 Графики зависимости x(t): 1 - при k=2; 2 – при k=10

3.

Рассмотрим случай, когда параметр k является функцией от времени k(t).

(5)

1.13 Для присваивания параметру k двух значений в зависимости от времени t необходимо использовать операцию Add Line вкладки Programming.

1.14 В верхней строке указываем первое значение параметра k=5 в соответствии с системой (5). Для задания условия, при котором k=5,на вкладке Programming выбирается оператор if.

1.15 Затем в строке задаем условие . В MathCAD двойное условие разбивается на два простых: и , которые соединяются между собой условным оператором «и», расположенным на вкладке Boolean.

1.16 Во второй строке задаем второе значение параметра k=20. Так как в системе (5) всего два условия, то второе условие выполняется в том случае, если не выполняется первое. Поэтому при формировании второго условия можно воспользоваться оператором otherwise вкладки Programming.

1.17 После задания значений параметра k необходимо повторить пункты 1.5 и 1.6, используя матрицу Р, и построить график зависимости x(t) (пункты 1.7, 1.8).

Рисунок 6 Листинг программы решения ДУ первого порядка при k=k(t)

1.18 Совмещаем три графика на одном и задаем границы по осям абсцисс и ординат так, чтобы увеличить график на интервале t=[3,5] (рисунок 7).

Рисунок 7 Графики зависимости x(t) на интервале t=[3,5]: 1 – при k=2; 2 – при k=10; 3 – при k=k(t)