Дифференциальное уравнение второго порядка

Рассмотрим ДУ второго порядка:

(6)

где m=2, μ₁=1, μ₂=25, c=5, a=2, ω=10.

1. μ= μ₁,

2.

Необходимо решить данное ДУ на интервале , , , при начальных условиях , .

Требуется построить следующие графики:

1. при ,

2. при ,

3. при ,

4. Совместить на одном графике при и при .

5. при ,

6. при .

Решение ДУ второго порядка аналогично рассмотренному выше решению ДУ первого порядка.

2.1 Выражаем вторую производную из уравнения (6).

(7)

2.2 Вводим переобозначения:

, (8)

, (9)

. (10)

2.3 Задаем численные значений констант .

2.4 Задаем начальные условия с учетом переобозначений (8) и (9). Вектор начальных условий y теперь состоит из двух элементов: в первой строке указывается значение функции в начальной точке интервала t₁, во второй - значение её первой производной в той же точке t₁.

Для задания вектора начальных условий на вкладке Matrix выбираем Matrix or Vector и указываем требуемое число строк (Rows) и столбцов (Columns).

2.5 Вводим функцию , которая является теперь вектором с двумя элементами:

В первой строке записываем первую производную с учетом переобозначения (9), а во второй – вторую производную (7) с учетом переобозначений (8) и (9) (см. пункт 2.4).

2.6 Используем функцию rkfixed для решения ДУ.

В результате решения получается матрица Z, имеющая три столбца:

первый столбец Z^<0> содержит значения t, в которых решается ДУ;

второй столбец Z^<1> содержит x(t);

третий столбец Z^<2>содержит .

2.7 Строим графики функций и , повторяя пункты 1.7, 1.8.

Листинг программы решения ДУ второго порядка приведен на рисунке 8, графики зависимостей и - на рисунках 9 и 10 соответственно.

Рисунок 8 Листинг программы решения ДУ второго порядка при

Рисунок 9 График зависимости при

Рисунок 10 График зависимости при

2.8 Для того, чтобы построить график зависимости необходимо некоторой функции, например, W присвоить выражение (7), в котором переменные записываются как столбцы матрицы Z: Z^<0>, Z^<1>, Z^<2> (рисунок 11).

Рисунок 11 Листинг программы построения графика

2.9 Для присваивания параметру μ двух значений в зависимости от знака скорости движения системы

(10)

необходимо выполнить пункты 1.13-1.16.

Поскольку знак скорости не присутствует в явном виде в записи функции D(t,y), условие (10) должно записываться при задании функции D(t,y), а не перед ней (рисунок 12).

Рисунок 12 Листинг программы решения ДУ второго порядка при

2.10 Совмещаем два графика зависимости при и при , повторяя пункт 1.12 (рисунок 13).

Рисунок 13 Графики зависимости : 1 - при ; 2 - при

2.11 Строим график зависимости при (рисунок 14).

Рисунок 14 График зависимости при

2.12 Построение графика ускорения системы при наличии условия в записи функции D(t,y) имеет ряд особенностей. Проверка условий системы должна осуществляться в каждой точке N=0..500, в которой определяется решение уравнения. Для реализации этого необходимо ввести счетчик i=0..500, который обеспечивает обращение к строкам каждого столбца матрицы Q. Функцию W также нужно определять в каждой точке, для чего ее записывают с индексом W_i, используя вкладку Matrix. Листинг программы приведен на рисунке 15, график ускорения – на рисунке 16.

Рисунок 15 Листинг программы определения ускорения системы при

Рисунок 16 График зависимости при

Задание:

Дифференциальное уравнение первого порядка

Решить дифференциальное уравнение первого порядка на интервале . Дифференциальное уравнение, начальные условия, константы и интервал времени приведены в таблице 1.

Построить следующие графики:

1. x(t) при k=k₁,

2. x(t) при k=k₂,

3. Совместить на одном графике зависимости x(t) при k=k₁, k=k₂,

4. x(t) при k=k₃,

5. Совместить на одном графике зависимости x(t) при k=k₁, k=k₂, k=k₃ на интервале .

Таблица 1 – Дифференциальные уравнения первого порядка

№	ДУ	a	ω	k		t
				k1		[0, 10]	[6..10]
k2
k3
				k1	0.1	[0, 10]	[7..9]
k2	0.2
k3
				k1		[0, 20]	[10..16]
k2
k3
				k1	0.1	[0, 20]	[14..18]
k2	0.02
k3
				k1		[0, 5]	[2..4]
k2
k3
				k1	0.2	[0, 4]	[1..3]
k2	0.4
k3
				k1		[0, 5]	[2..4]
k2
k3
				k1	0.1	[0, 4]	[1..3]
k2	0.2
k3
		0.2		k1		[0, 4]	[2..4]
k2
k3
				k1	0.05	[0, 3]	[0..1.5]
k2	0.5
k3
				k1		[0, 5]	[1..3]
k2
k3
				k1	0.2	[0, 5]	[2..4]
k2	0.5
k3
				k1		[0, 3]	[0.5..1.5]
k2
k3
				k1	0.5	[0, 5]	[2..4]
k2	0.1
k3
				k1		[0, 6]	[3..5]
k2
k3
				k1	0.5	[0, 2]	[0.5..1.5]
k2	0.8
k3
				k1		[0, 2]	[0.5..1.5]
k2
k3
				k1	0.2	[0, 2]	[0.5..1.2]
k2	0.8
k3
				k1		[0, 2]	[0.8..1.5]
k2
k3
				k1	0.3	[0, 5]	[0.5..2]
k2	0.1
k3
				k1		[0, 8]	[4..7]
k2
k3
				k1	0.6	[0, 2]	[0.5..1.3]
k2	0.8
k3
				k1		[0, 12]	[7..10]
k2
k3
				k1	0.04	[0, 20]	[13..18]
k2	0.08
k3

Дифференциальное уравнение второго порядка

Решить дифференциальное уравнение второго порядка

в соответствии с данными таблицы 2 на интервале при начальных условиях , при двух значениях коэффициента вязкости μ.

1. μ= μ₁,

2. .

Построить графики:

1. при ,

2. при ,

3. при ,

4. Совместить на одном графике при и при ,

5. при ,

6. при .

Таблица 2 – Дифференциальные уравнения второго порядка

№	F	a	m	μ1	μ2	c	ω
								[0,12]
								[0,12]
								[0,10]
								[0,20]
								[0,6]
								[0,20]
								[0,20]
								[0,15]
								[0,15]
								[0,12]
								[0,15]
								[0,6]
								[0,25]
								[0,5]
								[0,25]
								[0,18]
								[0,10]
								[0,3]
								[0,8]
								[0,5]
								[0,10]
								[0,2]
								[0,15]
								[0,8]