Пример 1.

Вычислить

1)

2)

3)

Решение (Приложение 1)

Пусть a > 0, b > 0, r, s ? любые рациональные числа. Тогда степень с любым рациональным показателем обладает следующими свойствами.

1. a^r · a^s = a^r + s.

2. a^r : a^s = a^r - s.

3. (a^r)^s = a^rs.

4. a^r · b^r = (ab)^r.

5.

Пример 2

Упростите выражения

1)

2)

Решение (Приложение 1)

Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y = x^a, x > 0.

Заметим, что для натуральных a степенная функция определена на всей числовой оси, подробнее об этом см. курс "Открытая Математика 2.6. Функции и Графики", параграф 2.4.2. Для произвольных вещественных a это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x.

1. К основным свойствам степенной функции y = x^a при a > 0 относятся:

2. Область определения функции - промежуток (0; + ).

3. Область значений функции - промежуток (0; + ).

4. Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).

5. Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если то

6. График степенной функции при a > 0 изображён на рисунке.

Рисунок 2.2.4.1. Степенная функция y = x^a при a > 0

Рисунок 2.2.4.2. Степенная функция y = x^a при a < 0

К основным свойствам степенной функции y = x^a при a < 0 относятся:

· Область определения функции - промежуток (0; + ).

· Область значений функции - промежуток (0; + ).

· Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).

· Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть если то

· График степенной функции при a < 0 изображён на рисунке.

Справедливы следующие свойства степенной функции:

·

·

· если n > k.

· на участке x > 1, если

· на участке 0 < x < 1, если