Аналог формулы Пика для правильных решеток

Мошура Александра Андреевна

Россия, Санкт-Петербург

ГБОУ ЦО «СПбГДЮ» Аничков лицей, 9 класс

План исследования

Целью работы является обобщение формулы Пика для геометрических решеток.

Находя площадь многоугольника на решетке, не всегда возможно вычислить ее, всего лишь подсчитав количество клеток, входящих в фигуру. В таких случаях можно воспользоваться специально выведенными формулами. В данной работе будет рассматриваться формула Пика. В работе рассматриваться решетки, состоящие из правильных треугольников, параллелограммов и шестиугольников. Формулы являться верными только для многоугольников, вершины которых лежат в узлах решетки, − точках пересечения линий сетки. О многоугольниках же известно только количество узлов внутри фигуры и количество узлов на границе.

В задаче необходимо провести сравнение узлов классической решетки и узлов рассматривающихся решеток, найти закономерность и получить из классической формулы данные необходимые для выведения обобщений формулы Пика для рассматриваемых решеток.

В ходе работы было предположено, что для треугольной решетки выполняется аналог формулы Пика, площадь многоугольников, расположенных на шестиугольной сетке, ограниченна снизу аналогом формулы Пика.

Для решения поставленной задачи требовалось:

1. Ознакомиться с литературой о классической формуле Пика.
2. Провести сравнение узлов треугольной сетки и узлов клетчатой сетки.
3. Проверить на примере простых треугольников верно, ли обобщение формулы Пика, выведенное для треугольной решетки, для шестиугольной решетки.
4. Ознакомиться с литературой о триангуляции многоугольника и доказать, что любой треугольник на решетке можно поделить на простые треугольники− треугольники, в состав которых входит 3 узла на границе и ни одного внутри.
5. Ограничить снизу площадь простого треугольника на шестиугольной решетке.
6. Рассмотрев примеры понять, будет ли ограничена сверху площадь простого треугольника. В результате была выдвинута гипотеза, что площадь ограничена сверху и встала задача получить оценку площади, используя расширенную решётку.
7. Из полученных для простых треугольников оценок вывести неравенство для произвольного многоугольника.

Библиография.

При написании работы были изучены статьи из журнала «Квант», в которых подробно описывается доказательство классической формулы Пика и приведен ряд задач основанных применении формулы Пика. Все начальные данные, помогающие подробно изучить данный вопрос, были получены из статей данного журнала. Впоследствии была найдена статья «A new Pick−type theorem on the hexagonal lattice.» рассматривающая непосредственно выведение обобщения формулы Пика для шестиугольной решетки. Однако формула, выведенная в данной работе, работает не во всех случаях и использует дополнительные характеристики узлов.

1. Н.Б.Васильев.Вокруг формулы Пика.//Квант.—1974.—№12. —стр. 39−43.

2. R.Ding, K.Kolodziejczyc, J. Reay.A new Pick−type theorem on the hexagonal lattice.// Discrete Mathematics. —1988. —№68.—стр. 171−176

3. Теорема Пика. Нахождение площади решетчатого многоугольника. 1 Jun 2008 .http://e−maxx.ru/algo/pick_grid_theorem