Введение. Легко посчитать площадь прямоугольника на клетчатой бумаге, если его вершины находятся в узлах[1] сетки

Легко посчитать площадь прямоугольника на клетчатой бумаге, если его вершины находятся в узлах[1] сетки, а стороны параллельны ей. Но если требуется рассмотреть более сложный многоугольник, задача становиться почти не выполнимой, а если уж и удается вычислить площадь фигуры, то она, скорее всего, является приблизительной. Однако, в этом случае на помощь может прийти формула Пика. Формула Пика – это формула, позволяющая находить площадь многоугольника на сетке. Формула справедлива для многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки. Она гласит, что площадь многоугольника с вершинами в узлах равна сумме числа узлов, находящихся внутри многоугольника, половины числа узлов, находящихся на границе фигуры и минус единицы[1].

S= В+Г/2−1

Где В − число узлов внутри многоугольника (красные точки), Г− число узлов на границе (синие) (см. рис. 1).

Данную формулу в 1899 году вывел австрийский математик Георг Пик.

Целью данной работы является обобщение формулы Пика для других видов решеток.

Под обобщением формулы Пика подразумевается выведение формул для разных видов решетки, с помощью которой можно будет найти площадь многоугольников, таких что:

a. вершины многоугольников лежат в узлах сетки

b. данные о многоугольнике, которыми мы оперируем, ограничивается информацией о количестве узлов разного типа, входящих в состав многоугольника.

В ходе выполнения работы рассматриваются:

a. параллелограммная решетка[2];

b. треугольная решетка;

c. шестиугольная решетка.