Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Дифференциальное исчисление функции

Одной переменной.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

. (5.1)

у

f(x)

f(x₀ +Dx) P

Df

f(x₀) M

a b Dx

0 x₀ x₀ + Dx x

Рис. 5.1.

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой: (5.2)

Уравнение нормали к кривой: . (5.3)

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t - время, а f(t)- закон движения – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции - скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Функция у= f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (а, b), называется дифференцируемой в этом интервале. Соответственно операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Рассмотрим основные свойства дифференцируемых функций.

1. Теорема 1 (необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

2. Теорема 2. Если функция у = f(x) на интервале (а, b) монотонна и имеет в произвольной точке х этого интервала производную не равную нулю, то обратная ей функция х = φ (у) также имеет производную в соответствующей точке и равна . (5.4)

Следовательно, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.