Динамическое уравнение движения (уравнение Навье-Стокса). Уравнение сплошности. (неразрывности движения). Их физический смысл.

ОТВЕТ:

Уравнения Навье — Стокса (англ. Navier-Stokes) — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение и теплопередачу вязкой жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Анри Навье и британского математика Джорджа Стокса.

Система состоит из трех уравнений:

уравнения теплопроводности,

уравнения неразрывности,

уравнения движения.

В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:

где: - оператор Гамильтона, Δ - оператор Лапласа, - вектор скорости, t - время, ν - коэффициент кинематической вязкости, ρ - плотность, P - давление, - вектор плотности массовых сил, T - температура, c_p - теплоемкость при постоянном давлении...

Основное уравнение теории теплопроводности (уравнение Фурье) и его физический смысл. Краевые условия. Задачи о температурном поле твердого тела, условия первого, второго и третьего рода.

ОТВЕТ:

Количество теплоты, передаваемой от горячего теплоносителя, прямо пропорционально площади теплопередающей поверхности F, действующей средней разности температур Δt, продолжительности процесса τ и коэффициенту теплоотдачи :

Коэффициент теплоотдачи показывает, какое количество теплоты передаётся от горячего теплоносителя к холодному через 1 м² поверхности при средней разности температур в 1 градус за 1 с:

Коэффициент теплоотдачи зависит от:

- скорости жидкости , её плотности и вязкости , т.е. переменных определяющих режим течения жидкости,

- тепловых свойств жидкости (удельной теплоёмкости ср, теплопроводности ), а также коэффициента объёмного расширения ,

- геометрических параметров – формы и определяющих размеров стенки (для труб – их диаметр d и длина L), а также шероховатости стенки.

Вследствие сложной зависимости коэффициента теплоотдачи от большого числа факторов невозможно получить расчётное уравнение для , пригодное для всех случаев теплоотдачи, поэтому для расчётов используют обобщённые (критериальные) уравнения для типовых случаев теплоотдачи.

Краевые условия (условия однозначности) включают в себя:

• Геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в которых протекает процесс
• Физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела
• Временные(начальные) условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени
• Граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.

Геометрическими условиями задаются форма и линейные размеры тела, в котором протекает процесс.

Физическими условиями задаются физические параметры тела (c, λ, ρ и др) и может быть задан закон распределения внутренних источников теплоты.

Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальное условие аналитически может быть записано следующим образом (при τ=0) :

t=f(x,y,z)

при равномерном распределении температуры в теле начальное условие упрощается (при τ=0) :

t=to=const

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

Граничные условия I рода.Задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени.

tс=f(x,y,z,τ) tс – температура на поверхности тела.

В частном случае, когда температура на поверхности тела является постоянной на протяжении всего времени протекания процесса теплообмена, уравнение упрощается и принимает вид tс=const

Граничные условия II рода.Задаются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени.

qп=f(x,y,z,τ) qп- плотность теплового потока. В простейшем случае: qп=qo=const

Граничные условия III рода.Задаются температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

Согласно закону Ньютона-Рихмана количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур поверхности тела tc и окружающей среды tж (tc>tж)

q=α(tс-tж)

где α – коэффициент пропорциональности, называемый коэффииентом теплоотдачи, Вт/(м²*К), характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.

q=-λ(∂t⁄∂n)c

отсюда окончательно граничное условие III рода :

(∂t⁄∂n)c=- (α/λ)(tс-tж)

Решение задачи определения температурного поля плоской однослойной стенки стационарном режиме в граничных условиях первого рода. Многослойная плоская стенка. Тепловой поток через однослойную и многослойную плоскую стенку.

ОТВЕТ: