Принятие решения приемником по одному отсчету

Задание: Найти и изобразить графически кривые плотностей распределения W(x) и условных вероятностей W(z/0) и W(z/1).

Показать на графике значения A, s, z(t₀).

Определить, какой символ ("1" или "0") будет зарегистрирован приемником, используя отношение правдоподобия. Привести общее выражение для его вычисления применительно к варианту задания и сделать необходимые расчеты.

Привести выражение и поясните смысл критерия идеального наблюдателя.

Выполнение:

Рисунок 10 – Функция распределения плотности вероятности суммы сигнала и шума

При наличии помех сигналы искажаются и для их описания приходится использовать вероятностное пространство. Сами сигналы вместе с помехами описываются функциями плотности вероятности w(x/S₁) и w(x/S₂), которые изображены на рис. 4 (эти функции умножены также на весовые коэффициенты П₁₂Р(S₁) и П₂₁Р(S₂)). На этом же рисунке показан порог х_п.

Заштрихованная часть рисунка левее х_п имеет площадь, равную

Р(S₂)w(x/S₂)dx = Р(S₂)P(x/S₂),

а заштрихованная часть правее х_п имеет площадь, равную

Р(S₁)w(x/S₁)dx = Р(S₁)P(x/S₁),

Сумма этих величин, есть средний риск R_ср. Из рис. 4. видно, что R_ср будет минимальным, когда минимальна суммарная площадь под кривыми. Это будет в том случае, если величина х_п соответствует точке пересечения кривых на рис. 10. Следовательно, условием получения min{R_ср} является такой порог х_п, при котором наступает равенство ординат приведенных кривых, т. е.

Р(S₁)w(x/S₁) = Р(S₂)w(x/S₂),отсюда:

Сообщения передаются последовательностью двоичных символов "1" и "0", которые появляются с априорными вероятностями соответственно

p(1) = 0.64

р(0) = 0.36

Этим символам соответствуют канальные сигналы S₁(t) и S₂(t), которые точно известны в месте приема.

В канале связи на передаваемые сигналы воздействует гауссовский стационарный шум с дисперсией

s² = 0.124мкВт

Приемник, оптимальный по критерию идеального наблюдателя (минимума средней вероятности ошибки), принимает решение по одному отсчету смеси сигнала и помехи

Z(t₀) = S_i (t₀ )+ x(t₀) =1.942 мВ

на интервале элемента сигнала длительности c.

Амплитуда канальных сигналов А = 7.66 мВ.

Если бы на входе приемника отсутствовали помехи, то задача разделения сигналов была бы очень проста. При наличии же помех сигналы искажаются, и для их описания приходится использовать вероятностное пространство. Сигналы вместе с помехами описываются функциями плотности вероятности W(z/s₁) и W(z/s₂),(рис. 10) где W(z/s_i) представляет собой плотность вероятности того, что принятый сигнал Z образовался при передаче сигнала S_i, также называется функцией правдоподобия.

Отношение называется отношением правдоподобия, и чем больше значение W(Z/S_i), тем более вероятно, что Z содержит сигнал S_i

Выражение называется пороговым отношением правдоподобия.

Приемник вычисляет отношение правдоподобия l(z), и далее по известным априорным вероятностям P(s₁) и P(s₂) и весовым коэффициентам P₁₂, P₂₁ (риск), вычисляется пороговое отношение правдоподобия l₀.

Если l(z) > l_0, то приемник выдает сигнал S₁, если нет то сигнал S₂.

Прием с ДАМ и НКГ возможен если на приеме известны S₁ и S₂ и выбрано

оптимальное U_п.

Плотность распределения огибающей суммы сигнала и помехи определяется обобщенным законом Релея (Релея-Райса):

- передача «1»,

где - модифицированная функция Бесселя.

Плотность распределения огибающей помехи определяется простым законом Релея:

- передача «0».

Плотность распределения в точке :

Найдем отношение правдоподобия для нашего случая:

В данном случае приемник, оптимальный по критерию идеального наблюдателя (минимума средней вероятности ошибки), последствия ошибок и равнозначны и весовые коэффициенты P₁₂= P₂₁=1, тогда средняя вероятность ошибки минимизируется:

P(Z_i/S_j) - условные вероятности ошибочного приема, чем она меньше тем меньше вероятность ошибки.

P(S_i) - априорные вероятности излучения.

Отсюда найдем пороговое отношение правдоподобия:

Так как , то приемник примет решение в пользу сигнала , т.е. примет «0».

Составим таблицу для построения графиков кривых плотностей распределения.

Т.к. передача символа «0» соответствует паузе, то в этот момент в канале присутствует только помеха (мощность сигнала в паузе равна нулю), а, следовательно, плотности распределения огибающей помехи и огибающей сигнала+помеха при передаче «0» будут совпадать. Рассчитаем и построим функции распределения плотности вероятности для W(z/0) и W(z/1).

Таблица 1 – Значения функции распределения плотности вероятности

Рисунок 11 – График кривых плотностей распределения