Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Криптосистемы на основе эллиптических кривых.




Разработка криптосистемы на эллиптических кривых заключается в выборе поля, уравнения эллиптической кривой и числа точек.

Пусть E(Fq)-эллиптическая кривая над полем из q=p­n элементов, QϵE(Fq) и #‹Q›=r.

Для достижения максимального уровня стойкости криптосистемы, равного O( ), эллиптическая кривая должна удовлетворять следующим требованиям:

1. Для обеспечения стойкости к анализу методом Гельфонда порядок r циклической группы должен быть простым большим числом (для задач аутентификации достаточно 200-250 бит, для шифрования долговременных секретов достаточно 400-500 бит).

2. Для обеспечения стойкости к анализу на основе спаривания Вейля порядок r группы не должен быть делителем ни одного из чисел q-1,q2-1,…,qm-1. Практически для задач аутентификации достаточно проверить это для m=100.

3. Для обеспечения стойкости к анализу методом логарифмической производной должно выполняться равенство r ≠ p.

Кроме того, выбранная эллиптическая кривая должна обеспечивать высокую скорость вычислений. Это достигается соответствующим выбором характеристики поля, выбором полинома, а также выбором кривой, допускающей комплексное умножение или иной способ быстрого умножения точки на число.

Операция сложения точек в криптографии на основе эллиптических кривых является аналогом операции умножения чисел по модулю простого числа, а многократное повторное сложение точек — аналогом возведения числа в степень. Чтобы построить криптографическую систему, используя эллиптические кривые, нужно найти «трудную проблему», соответствующую разложению на множители произведения двух простых чисел или дискретному логарифмированию.

Рассмотрим уравнение , где - точки на ЭК и . Относительно легко вычислить по данным и , но относительно трудно определить , имея .

В общем случае кубические уравнение для эллиптических кривых имеет вид:

, где – действительные числа. Определение эллиптической кривой включает также нулевой элемент (точка на бесконечности).

Пусть и - точки на ЭК. Определим точки и :

1. Тогда

2. если Тогда

3. Если то прямая имеет ещё одно пересечение с ЭК в точке . Тогда Исключение – если является касательной в точке ( ) или в точке ( ).

4. Тогда - касательная к ЭК в точке , которая имеет ещё одно пересечение с ЭК в точке .

Вышеприведенные правила сложения и множество точек ЭК образуют абелеву группу. Также

Перейдём к редуцированной форме ЭК, которая определяется над конечным простым полем характеристики :

, где - условие невырожденности точек кривой, - точка на ЭК, .

Определим правила сложения двух точек, используя правила, описанные выше:


Поделиться:

Дата добавления: 2015-04-18; просмотров: 145; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты