Математика. геометрия Евклида как первая естественно-научная теория; аксиоматический метод; математические доказательства; линейная алгебра с элементами аналитической

геометрия Евклида как первая естественно-научная теория; аксиоматический метод; математические доказательства; линейная алгебра с элементами аналитической геометрии; линейное программирование

Как и любая другая наука, экономика сталкивается с необходимостью ее методологического обеспечения через выявление совокупности способов, приемов познания экономических отношений и процессов. Большое значение в фиксации способов и приемов познания экономических отношений и процессов играет математический инструментарий, позволяющий различать познаваемые разумом многообразия и структуры.

Данный курс по математике сформирован на основе следующей литературы: Зайцев В.В., Рыжков В.В., Сканави М.И. Элементарная математика. Повторительный курс. 3-е изд. — М.: Наука, 1976; Ильин ВА., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия, 2-е изд. — М.: Наука, 1971; Матвеев В.И., Сагитов Р.В., Шершнев ВТ. Курс линейного программирования для экономистов: Учебное пособие. — М.: Изд-во «Менеджер», 1998; Ивашев-Мусатов О.С. Начала математического анализа: Учеб. пособие. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1988; Замков 0.0., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике:Учебник. — М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «ДИС», 1997; Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 6-е, стер. — М.: Высш. шк., 1998; Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк, 1980; Справочник по математике для экономистов/ Под ред. В.И. Ермакова. — М..: Высш. шк., 1987; Справочник по математике для экономистов/ В.Е. Барбаумов, В.И. Ермаков, Н.Н. Кривенцова и др.; под ред В.И. Ермакова. — М.: Высш. шк., 1987.

Изучение математики естественно начать с рассмотрения геометрии Евклида как первой естественно-научной теории.

Основные понятия. Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела.

Точка. Прямая. Луч. Отрезок. Некоторые простейшие понятия геометрии, такие, как точка, прямая и плоскость, не могут быть определены с помощью иных, более простых понятий; они являются отправным пунктом при изложении геометрии.

На наших чертежах точки обозначаются прописными, а прямые — строчными буквами латинского алфавита.

Кроме прямых рассматриваются также кривые линии (например, окружность). Линия (прямая или кривая) состоит из бесчисленного множества точек. Понятны выражения: «точка А лежит на линии а» — или «линия а проходит через точку А».

Прямая обладает следующими свойствами. Через две различные точки проходит единственная прямая. Как следствие, две прямые могут иметь не более одной общей точки. Две различные прямые, имеющие общую точку, пересекаются в ней. Поскольку две точки определяют прямую, проходящую через них, то прямую также можно обозначать так: прямая АВ, прямая PQ.

Точка М, лежащая на прямой а (рис. 6.4.1), разбивает ее на две части. Каждая из этих частей называется полупрямой или лучом. Точка М служит началом каждого из этих лучей. Две точки М и N разбивают прямую на три части: два луча МР и NQ и отрезок MN. Сформулируем определения понятий луча и отрезка. Лучом называется часть прямой, ограниченная одной из ее точек. Отрезком называется часть прямой, заключенная между двумя ее точками. Без доказательства принимается свойство: если на прямой даны три различные точки, то из них одна и только одна лежит между двумя другими, т.е. принадлежит отрезку, ограниченному ими.

Плоскость. Фигуры и тела. Легко представить себе поверхность как границу тела: плоская поверхность стола, сферическая поверхность мяча, цилиндрическая поверхность трубы. Но такое представление неполно. Возьмем тонкую замкнутую проволоку изогнутой формы и опустим ее в мыльную пену. Если мы ее осторожно извлечем из пены, то увидим, что просвет в проволочном «кольце» затянут тончайшей мыльной пленкой.

Правильно представлять себе поверхность именно как такую пленку (но лишенную всякой толщины).

Важнейшая и простейшая поверхность — плоскость. Напомним основные свойства плоскости. Прямая, две точки которой лежат в плоскости, вся лежит в этой плоскости (т.е. все ее точки лежат в плоскости). Следовательно, если прямая не лежит в плоскости, то она может иметь с ней не более одной общей точки (точка пересечения прямой и плоскости). Через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести плоскость (и притом только одну). Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, можно провести плоскость, и притом единственную. Через две пересекающиеся прямые также можно провести плоскость, и притом единственную. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, проходящую через эту точку (линия пересечения двух плоскостей), либо совпадают целиком.

Прямая т, лежащая в плоскости, разбивает ее на две части — полуплоскости (рис. 6.4.2); точки этой прямой и только они являются общими точками обеих полуплоскостей. Если А — точка одной полуплоскости, а В — другой, то отрезок АВ пересекает границу т полуплоскостей в некоторой точке С, лежащей между А и В.

Плоскости задаются тремя точками и обозначаются часто так: плоскость АВС или PQR и т.д. Иногда бывает удобнее обозначать плоскость одной буквой греческого алфавита (мы используем строчные буквы второй половины алфавита: Л,ц у,...).

Под фигурой обычно понимают некоторое сочетание определенным образом расположенных в одной плоскости (а иногда и в пространстве) элементов: точек, прямых, лучей, отрезков (иногда и плоскостей).

Под телом понимают обычно часть пространства, ограниченную какой-либо замкнутой поверхностью. Так, конус — тело, ограниченное конической поверхностью с боков и плоским круглым основанием снизу. Куб — тело, ограниченное шестью квадратными гранями, и т.д. Курс геометрии традиционно подразделяется на планиметрию и стереометрию; в планиметрии рассматриваются свойства различных фигур (треугольников, многоугольников, окружностей), лежащих в одной плоскости. В стереометрии изучаются свойства пространственных фигур и тел.

Угол. Рассмотрим в плоскости два луча ОА и 0В (рис. 6.4.3), исходящих из одной точки О. Эти два луча разбивают плоскость на две области — одна из них заштрихована на рис. 6.4.3, другая оставлена светлой. Каждая из них называется углом со сторонами ОА и 0В и вершиной О; таким образом, углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Не исключено, что оба луча лежат на одной прямой, продолжая друг друга (рис. 6.4.4) или сливаясь (рис. 6.4.5). В первом случае каждый из углов, образуемых ими, совпадает с полуплоскостью и получает название развернутого угла. Во втором случае один из углов исчезает (сводится к лучу) и называется в силу этого нулевым углом, второй же имеет название полного угла — он занимает всю плоскость.

Из двух углов на рис. 6.4.3 один (заштрихованный) содержится в развернутом угле;

образованном одной из сторон (например, ОА) и ее продолжением ОА '.

В дальнейшем, если не оговорено противное, под углом между лучами ОА и 0В, обозначенным ZA 0В или, короче, ZO, понимают тот из углов, который содержится в развернутом угле, например, заштрихованный угол на рис. 6.4.3. Любой отрезок PQ, соединяющий точки на сторонах угла, целиком принадлежит этому углу.

Луч, исходящий из точки Мна границе полуплоскости (рис. 6.4.6) и лежащий в этой полуплоскости, разбивает ее на два угла: zPMN и ZQMN. Такие два угла называются смежными. Они имеют общую сторону MN, другие же их стороны продолжают друг друга.

Под углом А 0В между двумя отрезками ОА и 0В с общим началом О понимается угол, образованный лучами ОА и 0В с одной и той же вершиной, содержащими данные отрезки (рис. 6.4.7). Мы обозначаем углы указанием их сторон: ZAOB, ZLMN и т.д., или, если исключены недоразумения, одной буквой — наименованием вершины угла: ZO, ZM% т.д., или специальной буквой (греческой строчной из первой половины алфавита): а,]3,у,... или, наконец, курсивной цифрой: 1,2,...

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АВ и CD (рис. 6.4.8). Они разбивают плоскость на четыре области: I, II, III, ГУ. Каждая из этих областей называется углом, образованным прямыми АВ и CD. Говоря точнее, угол I образован лучами 0В и OD, угол II — лучами ОА и OD, угол III — лучами ОА и ОС и угол IV— лучами ОС и 0В. При этом углы I и III (или II и IV), стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами. Иначе можно сказать, что вертикальные углы — это углы, смежные с одним и тем же углом.

.

Ломаная линия. Многоугольник. Рассмотрим несколько отрезков, например, АВ, ВС, CD, DE, EF, расположенных так, что начало каждого последующего отрезка помещается в . конце предыдущего (рис. б.4.9а); фигура, образованная такими отрезками, называется ломаной линией, отрезки же — ее звеньями или. сторонами. Обычно подразумевается, что два соседних отрезка не лежат на одной прямой. Если начало первого отрезка совпадает с кощом последнего, то ломаная называется замкнутой (рис. 6.4.96). Замкнутая ломаная, состоящая из п звеньев, называется п-уголъником. На рис. 6.4.10 приведены примеры треугольника, четырехугольника, пятиугольника и шестиугольника.

Продлим стороны многоугольника. Многоугольник называется выпуклым, если он целиком расположен по одну сторону от любой из прямых, на которых лежат его стороны.

На рис. 6.4.10 треугольник и пятиугольник выпуклые, а четырехугольник и шестиугольник нет. Ясно, что всякий треугольник выпуклый. В курсе геометрии мы будем изучать треугольники и некоторые виды четырехугольников и многоугольников; при этом всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, под многоугольником понимается выпуклый многоугольник. Всякий многоугольник разбивает плоскость на две области: внешнюю и внутреннюю; часто под словом «многоугольник» приходится понимать также часть плоскости, ограниченную данной замкнутой линией, включая и эту границу. Так, треугольником можно назвать и проволочную фигуру (рис. 6.4.11 а), и пластинку (рис. 6.4.126).

Незамкнутую ломаную ABCD мы назовем выпуклой, если при дополнении ее до многоугольника ABCD присоединением замыкающего звена DA получается выпуклый многоугольник, как, например, для ломаной на рис. 6.4.12а. Это определение исключает из числа выпуклых ломаных «спиральную» ломаную на рис. 6.4.126.

Отдельные отрезки (звенья), образующие многоугольник, называются его сторонами, концы этих отрезков — вершинами многоугольника. Внутренними углами многоугольника называются углы, образованные парами его сторон, исходящими из общей вершины.

Выпуклый многоугольник целиком принадлежит каждому из своих внутренних углов, как показано для угла А на рис. 6.4.12а. Ясно, что п-угольник имеет п сторон и столько же вершин. Углы, смежные с внутренними углами многоугольника, называются его внешними углами. На рис. 6.4.13 показаны внешние углы четырехугольника.

Равенство фигур. Движение. Здесь мы не ограничиваемся плоскостью, а рассматриваем пространство.

Основные понятия геометрии имеют абстрактный, идеализированный характер: точка не имеет никакой протяженности, линия лишена толщины и т.д. Это не мешает нам понимать, что материальными прообразами абстрактных понятий геометрии могут являться такие осязаемые вещи, как маленький стальной шарик, тонкий стержень, шлифованная поверхность стекла и т.п. Эти предметы материальной природы превращаются в идеализированные понятия геометрии путем отвлечения от физических и химических свойств; но если эти свойства не имеют значения для геометрии, изучающей, хотя и в абстрактном математическом виде, пространственные формы материального мира, то одно из свойств физических тел — их твердость, способность сохранять свои размеры и

форму — находит отражение в геометрии, в идее движения.

Твердое физическое тело можно перемещать в пространстве, причем ни размеры, ни форма тела не претерпевают никакого изменения. Эту способность тел двигаться, т.е. занимать в пространстве различные положения, взятую отвлеченно от понятий, относящихся к временному течению процесса движения (скорость, ускорение), допускают в отношении геометрических фигур и тел.

Поэтому такие выражения, как «переместим отрезок АВ в положение А'В'», «совместим угол а с углом i°» и т.д., следует понимать, представляя себе отрезок как твердый, хотя и не имеющий толщины стержень, угол — как твердый сектор плоскости и т.д.¹

Различение пространственно-временных условий, при которых появляется возможность использования такого способа теоретического исследования или практического осуществления в сфере экономических отношений или процессов, который не требует доказательств своего применения, а выступает как очевидная истина, осуществляется посредством различения условий, позволяющих зафиксировать в математике исходные параметры такого инструментарного подхода, как аксиоматический метод.

Аналитическая геометрия имеет своей задачей изучение свойств геометрических объектов помощи аналитического метода.

В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые систематически примененный Декартом. Основные понятия геометрии (точки, прямые линии и плоскости) относятся к числу так называемых начальных понятий. Эти понятия можно описать, но всякая попытка дать определение каждого из этих понятий неизбежно сведется к замене определяемого понятия ему эквивалентным. С научной точки зрения логически безупречным методом введения указанных понятий является аксиоматический метод, в развитии и завершении которого величайшая заслуга принадлежит Гильберту.

Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов методы алгебры и математического анализа.

Аксиома параллельности играет в геометрии фундаментальную роль, определяя разделение геометрии на две логически непротиворечивые и взаимно исключающие друг друга системы: евклидову и неевклидову геометрии.

В геометрии Евклида эта аксиома формулируется так.

Пусть а — произвольная прямая и А — точка, лежащая вне прямой а, тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через Анне пересекающей а.

Долгое время геометры выясняли вопрос о том, не является ли аксиома параллельности следствием всех остальных аксиом. Этот вопрос был решен Лобачевским, который доказал, что аксиома параллельности не является следствием других аксиом.

Неповторимость геометрии Евклида

Рассмотрим линейное действительное пространство V. Каждой паре векторов х, у V поставим в соответствие действительное число, обозначаемое х; у так, что

, выполняются следующие аксиомы:

I. (коммутативность);

II. (дистрибутивность);

III (ассоциативность относительно числового множителя);

IV. , причем ==0<=> ==0.

Такая операция называется скалярным умножением векторов, а число —

скалярным произведением. Скалярное произведение называют скалярным квадратом вектора и обозначают х² '.

Евклидовым называют линейное действительное пространство, в котором задана операция скалярного умножения векторов. Его обычно обозначают буквой Е.

Для доказательства непротиворечивости аксиом геометрии Евклида достаточно построить какую-нибудь конкретную реализацию совокупности объектов, удовлетворяющих всем указанным аксиомам. Мы построим так называемую декартову или арифметическую реализацию совокупности объектов, удовлетворяющих аксиомам планиметрии. Тем самым вопрос о непротиворечивости планиметрии Евклида будет сведен к вопросу о непротиворечивости арифметики.

Назовем точкой любую упорядоченную пару вещественных чисел (х, у), а прямой —-отношение трех вещественных чисел (ц: v : w) при условии, что и + v^ Ф 0,¹

Будем говорить, что точка (х, у) принадлежит прямой (и : v : w), если справедливо равенство

ux+vy+w=O. (6.4.1)

Докажем справедливость аксиом.

Каковы бы ни были две различные точки (x₁, y₁) и (х_2,, у₂), прямая² (y₁- x₁ -x₂y₁у), как легко убедиться, содержит эти точки.

Далее из их₁ + vy₁ + w == 0, ux₂ + vy₂ + w •= 0 вытекает, что и: v : w == (y₁-y₂) : (x₁-x₂) : (x₁y₂-x₂y₁), так что точками (x₁ у₁) и (х₂, у₂) определяется только одна прямая (и : v : w) .

Наконец, уравнение (6.4.1) с двумя неизвестными х и у всегда имеет бесчисленное множество решений и не всякая пара х и у есть решение уравнения (6.4.1).

Теперь определим соотношение «лежит между». Так как и² +v² 0, то либо и 0, либо v 0.

Если v 0 то мы будем говорить, что точка (х₂, y₂) лежит между (x₁, y₁) и (x₃, y₃ ), если либо х₁<x₂<x₃, либо x₁>x₂>x₃. Если же v=0 (при этом заведомо и 0), то мы будем говорить, что точка (х₂,у₂) лежит между (х₁, у₁) и (х₃,у₃), если У₁<У₂<У_З либо У1>У2>Уз.³

Обратимся теперь к определению соотношения «конгруэнтен». С этой целью рассмотрим так называемое ортогональное преобразование. Преобразование

переводящее произвольную точку (х,у) в определенную точку (x',у'), называется ортогональным, если выполнены соотношения

Легко доказать, что всякое ортогональное преобразование (6.4.2), (6.4.3) можно представить в одной из следующих форм:

причем в обоих случаях = 1. Преобразования (6.4.4) и (6.4.5) обычно называют ортогональными преобразованиями соответственно первого и второго рода.

Пусть даны произвольная прямая (и: v: w) и на ней некоторая точка (x₀ , У₀) , так, что ux0 + vyo + w = 0.

Легко убедиться в том, что совокупность точек (х, у), где

принадлежит прямой (u : v : w) для любого вещественного числа t. Далее ясно, что при t > 0 все указанные точки {х, у) лежат по одну сторону от точки (x₀, у₀), а при t < О эти точки лежат по другую сторону от (x₀ , у₀ ) .

Иными словами, уравнения (6.4.6) при всевозможных положительных t определяют все точки полупрямой, исходящей из точки (x₀ , у₀ ) и лежащей на прямой (x₀ , у₀ ,w) . Эту полупрямую мы будем обозначать символом (x₀ , у₀ , v-u).Оказывается, всякое ортогональное преобразование (как первого, так и второго рода) переводит любую полупрямую снова в полупрямую. Более точно, справедливо следующее утверждение¹: ортогональное преобразование (6.4.5) или (6.4.6) переводит полупрямую (x₀ , у₀ , v-u) в полупрямую (x₀’ , у₀’ , v’-u’), где для случая преобразования первого рода x₀’ = X₀ - y_o + c₁; y₀’ = X₀+ y_o+c₂; v’= v+ u; u’=- v+ u, для случая преобразования второго рода x₀’ = X₀ + y_o + c₁; y₀’ = X₀- y_o+c₂; v’= v- u; u’=- v- u

Назовем отрезок АВ конгруэнтным отрезку А'В', если существует ортогональное преобразование, которое переводит точку А в точку А', а точку В в точку В'. Угол (h, k) назовем конгруэнтным (h’, k’), если существует ортогональное преобразование, переводящее полупрямую h в полупрямую h' и полупрямую k в полупрямую k'.

Нам остается еще проверить справедливость аксиомы параллельности. Пусть (u: v: w) — произвольная прямая и (x₀, у₀) — точка вне ее, так что ux₀+vy₀+w

Пусть (u’: v’: w’) — прямая, проходящая через точку (x₀, у₀), т.е. удовлетворяющая условию

ux₀+vy₀+w= 0. (6.4.7)

Поскольку эта прямая не пересекает прямую (u: v: w), должна быть несовместна система уравнений

Из несовместности системы (6.4.8) заключаем, что и': и = v^': v или, что то же самое, и' = и, v' = v, где —некоторое число. Но тогда из (6.4.7) получим и w' = - (иx₀ + vу₀), т.е. и': v': w' = и: v: (-(их₀ + vу₀)) . Итак, отношения (и': v’: w') однозначно определены, т.е. существует единственная прямая (и': v': w'), проходящая через (x₀, у₀) и не пересекающая прямой (u: v: w).

Тем самым доказательство непротиворечивости планиметрии Евклида завершено.

Замечание. Аналогично доказывается непротиворечивость стереометрии Евклида. Для этого мы называем точкой любую упорядоченную тройку вещественных чисел (х, у, z),

прямой — совокупность всех троек (х, у, z), элементы х, у , z которых связаны системой двух линейных уравнений, плоскостью—совокупность всех троек (x,y,z), элементы х, у, z которых удовлетворяют одному линейному уравнению.¹

Математический инструментарий, представляя собой способы и приемы познания многообразия и структуры математических множеств и величин, а также взаимоотношений между ними, использует помимо аксиоматического метода математические доказательства, которые обеспечивают экономиста при познании экономических процессов и явлений системой умозаключений, которая служит для установления нового положения экономического субъекта в экономическом пространстве на основании других, ранее известных его положений.

Определения. Аксиомы. Теоремы. Строгое изложение любой части математики основывается на введении некоторых простейших неопределяемых понятий (например, для геометрии: «точка», «прямая», «лежать на», «между» и т.д.). Обычно этим понятиям отвечает некоторый очевидный, интуитивно ясный смысл. Далее формулируются некоторые первичные, недоказуемые (в принципе или при данной форме изложения) утверждения; они называются аксиомами или постулатами. Например: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую. Это аксиоматически принимаемое положение использует неопределяемые понятия: «плоскость», «прямая», «точка», «лежать на» (чтобы фактически не употреблять других понятий, пришлось бы сформулировать аксиому несколько длиннее: если существует точка, лежащая на двух плоскостях, то существует и прямая, лежащая на этих плоскостях). Кроме специфических понятий каждой математической теории (арифметики, геометрии и т.п.), во всей математике используются также понятия множества (как определенного собрания любых элементов), соответствия (в выражениях типа «пусть каждому х соответствует определенное у» и т.п.) и общие правила логического ведения рассуждений.

Дальнейшим используемым понятиям даются определения в терминах первоначальных или уже введенных понятий. Пример: отрезком АВ прямой называется множество точек, включающее точки А, В и все точки, лежащие между ними. В этом определении, например, употреблены понятия «множество», «между» и т.д.

Относительно первоначальных и введенных с их помощью дальнейших понятий доказываются (на основе аксиом и ранее доказанных утверждений, с помощью обычных правил логики) новые утверждения, называемые теоремами, иногда леммами (обычно леммой называют утверждение, не имеющее важного самостоятельного значения, но используемое при доказательстве других теорем).

Полностью выдержанное по указанной схеме изложение математических дисциплин называется аксиоматическим (точнее, полуформальным). Фактически осуществить его в полной мере в рамках учебника не удается, так как объем его получился бы слишком большим, а изложение очень утомительным. Поэтому в данной книге, как и в школьных учебниках, аксиомы приводятся лишь частично, часть теорем сообщается без доказательства, а доказательства некоторых других построены с большим или меньшим привлечением интуитивно ясных соображений (которые в принципе могли бы быть доказаны, исходя из полной системы аксиом).

Логическое следование. Необходимые и достаточные условия. Утверждения (теоремы) в математике явно или неявно имеют следующую форму: «Если..., то...», Например: «Если одна из медиан треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный». Утверждение: «Медианы треугольника делят друг друга в отношении 2:1»—можно сформулировать в сходной форме: «Если отрезки AM и BN являются медианами треугольника АВС, то они делят друг друга в отношении 2:1».

Таким образом, для доказательства теоремы необходимо бывает установить, что из некоторых предположений (посылок) с логической необходимостью вытекает некоторый результат (вывод).

В логике тот факт, что из посылки А вытекает вывод В, обозначают так: А ==> В (или каким-либо сходным образом).

В этом случае говорят, что А является достаточным условием для В; в свою очередь В является необходимым условием для А. Это означает, что для справедливости В достаточно (но, вообще говоря, не необходимо) выполнения А; для справедливости А необходимо (но, вообще говоря, недостаточно) выполнение В . Например, в утверждении: «если фигуры равны, то они равновелики» (т.е. имеют равные площади) — равенства фигур достаточно для равенства их площадей. В то же время равенство площадей — необходимое условие равенства фигур. Если оказывается, что не только А~==> В, но и В => А, то оба утверждения А и В называют эквивалентными. В математических текстах при этом употребляют выражения типа: « А тогда и только тогда, когда В », « А, если и только если В ». Тот же смысл имеют и выражения: « А необходимо и достаточно для В ». Пример: «Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали делили друг друга пополам». Говорят, что свойство диагоналей делить друг друга пополам является необходимым и достаточным условием того, чтобы четырехугольник был параллелограммом.

Прямая, обратная, противоположная теоремы. Доказательства от противного. Наряду с каким-либо утверждением А (при этом вообще, под утверждением понимается любое повествовательное предложение, о котором всякий раз можно сказать, что оно истинно либо ложно) можно рассматривать его отрицание, утверждение «не А », обозначаемое короче А и состоящее в том, что А ложно. А и А всегда образуют такую пару утверждений, что из них одно истинно, а другое ложно. Приведем примеры.

Ясно, что в примерах 1) и 3) утверждение А или окажется истинным (ложным) в зависимости от заданных точек или чисел а, b. В примере 2) А ложно, истинно, так как О²=О; в примере 4) А истинно, а ложно.

Представим себе теперь некоторое математическое утверждение (теорему) вида А => В; наряду с ним можно рассматривать следующие три другие утверждения (теоремы):

В => А (обратное утверждение), (6.4.9)

==> (противоположное утверждение), (6.4.10)

=> (утверждение, обратное противоположному или, что то же, противоположное обратному). (6.4.11)

Их называют соответственно обратной теоремой, противоположной теоремой, теоремой, обратной противоположной; следует иметь при этом в виду, что теоремой мы обычно называем истинное утверждение, вообще же для любого утверждения это заранее не предполагается.

Утверждения А=> В и (6.4.11) эквивалентны: именно, если верно утверждение А => В, то верно и обратное противоположному => (и обратно). Аналогично, эквивалентны обратное и противоположное утверждения (6.4.9), (6.4.10).

Доказательство этого правила вытекает из условия считать, что из двух высказываний А и всегда одно истинно, а другое ложно (в логике это называют принципом исключенного третьего). Пусть А ==> В; установим, что тогда и => .

В самом деле, если имеет место , то В не выполняется. Но тогда неверно и А (иначе было бы верно и В ). Следовательно, верно , т.е. А => В .

Пусть => ; установим, что тогда и А ==> В .

Действительно, пусть А истинно. Тогда ложно, тем самым ложно и (иначе А было бы истинно). Следовательно, В истинно; итак, А => В.

В силу эквивалентности утверждений А => В и => доказательство прямой теоремы иногда заменяют доказательством теоремы, противоположной обратной. Например, доказательство теоремы:

Если а — натуральное число, то корень - = b — либо натуральное, либо иррациональное число, может быть заменено доказательством теоремы, противоположной обратной;

Если b — дробное рациональное число (т.е. не целое и не иррациональное), то его квадрат не может быть натуральным числом.

Доказательство в этой второй равносильной формулировке провести проще.

Что касается теоремы, обратной данной, то возможно, что она и неверна (нет прямой

связи между справедливостью утверждений А=> В и В => А). Например, справедливо утверждение: «если один угол треугольника тупой, то два других— острые». Очевидно, что неверно обратное утверждение: «если два угла треугольника острые, то третий — тупой».

Остановимся еще на приеме доказательства «от противного» (по-латыни reductio ad absurdum — приведение к абсурду). Логическая сущность его такова (она близка к замене данного утверждения противоположным обратному). Пусть требуется доказать предложение А => В . Допускаем, что А справедливо, но тем не менее имеет место , если это предположение приведет нас в результате правильных логических умозаключений к какому-либо заведомо ложному выводу, то следует признать ложным, а В — истинным (при условии А). Теорема А => В считается в этом случае доказанной.

Пример: доказательство теоремы планиметрии «две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой». Его можно провести так. Пусть прямые а и Ъ параллельны прямой с. Требуется доказать, что а \\ Ь. Допустим противное, что а и Ь пересекаются в точке М. Тогда через точку М пройдут две прямые а и Ь, параллельные прямой с, что противоречит постулату о параллельных прямых.

Метод математической индукции. Пусть имеется некоторое утверждение о натуральном числе п; для доказательства такого утверждения может быть применен метод математической индукции, состоящий в следующем. Пусть установлено, что

1) данное утверждение справедливо при п = 1;

2) из предположения, что оно справедливо при некотором значении п = k, следует, что

оно справедливо и при следующем значении п = k + 1.

Тогда данное утверждение справедливо для всех натуральных п. Этот принцип можно рассматривать как одну из аксиом, описывающих свойства натурального ряда. Интуитивно ясен его смысл: если утверждение верно для п = 1, то оно верно для п = 1 + 1 == 2; но тогда оно верно и для л=2+1=3и т.д.

Это и есть формула (6.4.12), записанная для п = к - 1. 1 еперь формула уже установлена для всех натуральных п¹

Существование различных форм проявления деятельности экономических субъектов требует от экономиста использования навыков по применению таких способов и приемов познания экономических отношений и процессов на уровне хозяйственных единиц, которые позволяют фиксировать как пространственные, так и временные параметры деятельности экономических субъектов. Для этой цели в качестве аналитического инструментария могут быть использованы элементы линейной алгебры как науки о числовых величинах и функциональных множествах, позволяющей фиксировать временные параметры, и элементы аналитической геометрии как науки о пространственных величинах.

Векторная алгебра

В этом разделе изучаются векторные величины (или просто векторы), т.е. такие величины, которые, кроме своего численного значения, характеризуются еще направленностью. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила.

Мы изучим простейшие операции над векторами (сложение векторов, умножение векторов на число), введем понятие линейной зависимости векторов и рассмотрим основные приложения этого понятия, изучим различные типы произведений векторов, актуальные для различных приложений (скалярное и векторное произведения двух векторов, смешанное и двойное векторное произведение трех векторов).

Понятие вектора и линейные операции над векторами. Абстрагируясь от конкретных свойств, встречающихся в природе физических векторных величин, мы приходим к понятию геометрического вектора, или просто вектора.

Геометрическим вектором, или просто вектором, будем называть направленный отрезок.

Мы будем обозначать вектор либо как направленный отрезок символом АВ, где точки А и В обозначают соответственно начало и конец данного направленного отрезка (вектора), либо одной латинской буквой, например а или b . На чертеже будем изображать вектор стрелкой, причем латинскую букву, обозначающую этот вектор, будем писать у его конца (рис. 6.4.14).

Начало вектора называют точкой его приложения. Если точка А является началом вектора а, то мы будем говорить, что вектор а приложен в точке А. Для обозначения длины вектора будем пользоваться символом модуля (или абсолютной величины). Так, /АВ/ и /а/ обозначают длины векторов АВ и а соответственно.

Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Это позволяет нам при записи отождествлять нулевой вектор с вещественным числом «нуль».

Введем важное понятие коллинеарности векторов.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой либо на параллельных прямых.

Теперь мы можем сформулировать понятие равенства двух векторов: два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.

На рис. 6.4.15 изображены слева неравные, а справа равные векторы а и b

Из определения равенства векторов непосредственно вытекает следующее утверждение: «Каковы бы ни были вектор а и точка Р, существует, и притом единственный, вектор PQ с началом в точке Р , равный вектору а »^\

Иными словами, точка приложения данного вектора а может быть выбрана произвольно (мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения ¹ В самом деле, существует лишь одна прямая, проходящая через точку Р и параллельная той прямой, на которой лежит вектор а. На указанной прямой существует единственная точка Q такая, что отрезок PQ имеет длину, равную длине вектора а, и направлен в ту же сторону, что и вектор а. и получающихся один из другого параллельным переносом). В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены с точностью до точки приложения).¹

Линейные операции над векторами. Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа.

Сначала определим операцию сложения двух векторов.

Определение 1. Суммой а+b двух векторов a u b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора а.

Правило сложения двух векторов, содержащееся в этом определении, обычно называю «правилом треугольника».

Это название объясняется тем, что в соответствии с указанным правилом слагаемые векторы а и b (в случае, если они не коллинеарны) и их сумма а + b образуют треугольник (рис. 6.4.16).

Правило сложения векторов обладает теми же самыми четырьмя свойствами, что и правило сложения вещественных (или рациональных) чисел):

1° a+b = b+ а (переместительное свойство);

2° (а + b) + с = а + (b + с) (сочетательное свойство);

3° существует нулевой вектор 0 такой, что а + 0 = а для любого вектора а (особая роль нулевого вектора);

4° для каждого вектора а существует противоположный ему вектор о! такой, что a+a'=0.

Убедимся в справедливости этих свойств. Свойство 3° непосредственно вытекает из определения 1. Для доказательства свойства 4° определим вектор а' , противоположный вектору а, как вектор, коллинеарньга вектору а, имеющий одинаковую с вектором а длину и противоположное направление.² Очевидно, что взятая согласно определению 1 сумма вектора а с таким вектором a' дает нулевой вектор.

Для доказательства свойства 1° приложим два произвольных вектора а и b к общему началу О (рис. 6.4.17). Обозначим буквами А и В концы векторов а и b соответственно и рассмотрим параллелограмм ОВСА. Из определения равенства векторов следует, что = а, = b.

Из определения 1 и из рассмотрения треугольника ОАС следует, что диагональ ОС указанного параллелограмма представляет собой сумму векторов а + b, а из рассмотрения треугольника О В С следует, что та же самая диагональ ОС представляет собой сумму векторов b + а. Тем самым свойство 1° установлено.

Остается доказать свойство 2°. Для этого приложим вектор а к произвольной точке О, вектор b к концу вектора а и вектор с к концу вектора b (рис. 6.4.17).

Обозначим буквами А, В и С концы векторов а, b и с соответственно. Тогда

(a+b)+с=

a+(b+c)=

т.е. свойство 2° доказано.

Замечание 1. При доказательстве свойства 1° нами обосновано еще одно правило сложения векторов, называемое «правилом параллелограмма»: если векторы а и b приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма а+b (или b + а) этих векторов представляет собой диагональ указанного параллелограмма, идущую из общего начала векторов а и b ^\

Доказанные нами свойства 1°—4° позволяют нам оперировать с суммой векторов так же, как с суммой вещественных чисел. В частности, при сложении трех векторов а, b и с нет необходимости указывать, как мы понимаем сумму а + b + с (как а + (b + с) или как (а+b)+с).

Свойства 1°—4° позволяют нам распространить правило сложения на сумму любого конечного числа векторов. При этом нет необходимости производить сложение последовательно, фиксируя каждый промежуточный результат; сумма любого числа векторов может быть построена с помощью следующего правила: если приложить вектор _а2 к концу вектора а₁, вектор а₃ к концу вектора а_n,..., вектор а_n-1 к концу вектора а^,то сумма а₁ + а₂ + а₃ + ... + а_n будет представлять собой вектор, идущий из начала вектора а1 в конец вектора а_n .

Сформулированное правило сложения, проиллюстрированное на рис. 6.4.18, естественно назвать «правилом замыкания ломаной до многоугольника» (ломаная ОА₁А₂А₃...А_n замыкается до многоугольника путем добавления звена ОА_n)

Наконец, свойства 1° — 4° позволяют исчерпывающим образом решить вопрос о вычитании векторов.²

Различные формы проявления деятельности экономических субъектов представляют собой не что иное, как многообразие последовательностей соединения элементов, характеризующих эту деятельность. Таким образом, для познания экономических процессов и явлений на уровне хозяйствующих единиц экономист должен уметь воссоздавать данное многообразие последовательностей соединения элементов экономической деятельности, для чего могут быть использованы методы линейного программирования, позволяющие экономисту в данном многообразии найти оптимальную последовательность соединения.

Задачи математического и линейного программирования

Исследование различных, в том числе и экономических, процессов обычно начинается с их моделирования, т.е. отражения реального процесса через математические соотношения. При этом производится составление уравнений или неравенств, связывающих различные показатели (переменные) исследуемого процесса, которые образуют систему ограничений.

В этих соотношениях выделяются такие переменные, меняя которые, можно получить оптимальное значение основного показателя данной системы (прибыль, доход, затраты и т.п.). Соответствующие методы, позволяющие решать указанные задачи, объединяются в общее название «математическое программирование» или «математический метод» исследования операций.

Математическое программирование включает в себя такие разделы математики как линейное, нелинейное и динамическое программирование. Сюда же обычно относят стохастическое программирование, теорию игр, теорию массового обслуживания, теорию управления запасами и некоторые другие.

Итак, математическое программирование — это раздел высшей математики, занимающийся решением задач, связанных с нахождением экстремумов функций нескольких переменных при наличии ограничений на переменные.

Методами математического программирования решаются задачи распределения ресурсов, планирования выпуска продукции, ценообразования, транспортные задачи и т.п.

Математическое программирование возникло в 30-е годы XX века. Венгерский математик Б.Эгервари в 1931 году решил задачу, называемую проблемой выбора. Американский ученый Г.У. Куй обобщил этот метод, после чего он получил название венгерского метода. В 1939 году российский ученый Л.В. Канторович разработал метод разрешающих множителей решения задач линейного программирования. Большой вклад в развитие математического программирования внесли американские ученые. В 1949 году американский ученый Дж. Данциг опубликовал один из основных методов решения задач линейного программирования, получивший название симплексный.

Составление математической модели экономической задачи включает следующие этапы: 1) выбор переменных задачи; 2) составление системы ограничений; 3) выбор

целевой функции.

Переменными задачи называются величины x₁, x₂, х₃,..., x_n, которые полностью характеризуют экономический процесс. Их обычно записывают в виде вектора X=(x₁, x₂, x₃,…., x_n)

Система ограничений включает в себя систему уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которые следуют из ограниченности ресурсов или других экономических или физических условий, например, положительности переменных и т.п.

Целевой функцией называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи и экстремум которой требуется найти.

Таким образом, общая задача математического программирования формулируется следующим образом: найти экстремум целевой функции задачи

Z(X) = f (x₁, x₂, x₃,…., x_n) max(min) (6.4.13)

и соответствующие ему переменные при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений

(x₁, x₂, x₃,…., x_n ) =0, i=1,2,..,l (6.4.14)

(x₁, x₂, x₃,…., x_n ) >(<) 0, i = l +1, l+2,…,m (6.4.15)

Если целевая функция (6.4.13)и система ограничений (6.4.14), (6.4.15) являются линейными, то задача математического программирования называется задачей линейного программирования,

В общем случае задача линейного программирования может быть записана в следующем виде:

Это позволяет найти экстремум целевой функции задачи (6.4.16) и соответствующие ему переменные X=(x₁, x₂, x₃,…., x_n) при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений (6.4.17) и условиям неотрицательности (6.4.18).

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любой п-мерный вектор X=(x₁, x₂, x₃,…., x_n), удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности.

Множество допустимых решений (планов) задачи образует область допустимых решений (ОДР). Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такое допустимое решение (план) задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.

Так как в данном случае решается задача на экстремум, то возникает вопрос о возможности использования классических методов исследования на экстремум функции многих переменных. Первым шагом в этом направлении является использование необходимого условия экстремума функции, которое состоит в том, что частные производные функции многих переменных или равны нулю, или не существуют. В данном случае

i=1, 2,…,n .

Но если все с_i = 0, то и Z = 0, т.е. экстремум функции не обнаруживается. Связано это с тем, что производную можно использовать для определения экстремума только во внутренних точках области решений, а в данном случае экстремум, как будет показано ниже, находится на границах области. Отсюда и возникает необходимость разработки специальных методов поиска экстремума.

Математические модели простейших экономических задач. Задача использования ресурсов

Для изготовления нескольких видов продукции Р₁, Р₂, ..., Р_n используют т видов ресурсов S₁, S₂, ..., S_m. Это могут быть различные материалы, электроэнергия, полуфабрикаты и т.п. Объем каждого вида ресурсов ограничен и известен (b₁,b₂,...,b_n). Известно также a_ij (i = 1,2,..., m; y=l,2,...,n) — количество каждого i-го вида ресурса, расходуемого на производство единицы j -го вида продукции. Кроме того, известна прибыль, получаемая от реализации единицы каждого вида продукции (С₁, С₂,….,C_n).

Условия задачи можно представить в виде табл. 6.4.1.

Таблица 6.4.1

Пусть х_j, j = 1,2,..., п, — количество каждого вида продукции, которое необходимо произвести.

Для первого ресурса имеет место неравенство-ограничение

А₁₁x₁+ а₁₂х₂+... + а_1nх_n < b₁ (6.4.19)

Аналогичные неравенства будут и для остальных видов ресурсов. Следует учитывать также, что все значения х_j 0, j = 1,2,..., n.

Общая прибыль, получаемая от реализации всей продукции, может быть представлена как функция

Z(X) =c₁x₁+c₂x₂+…c_nx_n (6.4.20)

Необходимо эту функцию максимизировать. Таким образом, математическая модель задачи использования ресурсов запишется в виде

В более компактной форме целевую функцию и систему ограничений можно записать, используя знак суммирования.

Задача о составлении рациона питания

Требуется составить рацион ежедневного питания животного на основе имеющихся видов кормов так, чтобы общая стоимость использованных кормов была минимальной. При этом животное должно получать питательных веществ, например, таких как жиры, углеводы, белки, витамины и т.п., не менее определенного количества.

В каждом виде корма содержится разная комбинация этих веществ. Известна цена единицы веса каждого корма.

Пусть имеется п различных кормов (продуктов) Р₁, Р₂, ..., Р_n и перечень из т необходимых питательных веществ S₁, S₂, ..., S_m . Обозначим через a_ij содержание (в весовых единицах) i -го питательного вещества в единице j -го корма, через b_i обозначим минимальную суточную потребность животного в г-ом питательном веществе. Через х_j обозначим количество каждого вида корма в ежедневном рационе. Очевидно, что х_j > 0 .

Условия задачи можно представить в виде табл. 6.4.2.

Таблица 6.4.2

Для первого вида питательного вещества неравенство-ограничение примет вид

Аналогично запишутся неравенства и для остальных видов питательных веществ. Общие затраты на весь рацион питания животного можно найти на основе линейной функции

Эту функцию нужно минимизировать. Итак, математическая модель задачи составления рациона питания имеет вид