Замечания об истинности

Нашей главной заботой в философии и в науке должен быть поиск истины. Оправдание — не наша цель, а блеск и острота ума сами по себе скучны. Мы должны стремиться находить или открывать самые насущные проблемы, и мы должны пытаться решать их, выдвигая истинные теории (или истинные высказывания (statements) или истинные пропозиции (propositions) — здесь их нет надобности различать** — или, во всяком случае, предлагая теории, которые подходят к истине немного ближе, чем теории наших предшественников.

Однако поиск истины возможен только, если мы говорим ясно и просто и избегаем ненужных технических приемов и усложнений. На мой взгляд, стремление к ясности и прозрачности — нравственный долг всех интеллектуалов: отсутствие ясности — грех, претенциозность — преступление. (Важна также и краткость, с учетом «публикационного взрыва», но она не столь существенна, а иногда несовместима с ясностью). Часто мы неспособны оказаться на высоте этих требований и не умеем высказываться ясно и понятно, но это лишь показывает, что все мы не так уж хороши как философы.

Я принимаю основанную на здравом смысле теорию (защищавшуюся и уточненную Альфредом Тарским¹³)), согласно которой истинность есть соответствие фактам (или действительности) или, точнее, теория истинна, если и только если она соответствует фактам.

* По-видимому, имеется в виду американская «Encyclopedia of Philosophy». Ed. by Edwards Paul, 1967, 4 vols. — Прим. пер.

** Английские термины «statement» и «proposition», по существу синонимичные и редко встречающиеся в одном тексте, обычно оба переводятся на русский как «высказывание». Там, где они все-таки встречаются вместе, нам кажется предпочтительнее переводить «statement» как «высказывание», a «proposition» — несколько неуклюжим термином «пропозиция», учитывая, в частности, наличие производного от него прилагательного «пропозициональный» (в таких терминах как «пропозициональная функция» или «пропозициональное исчисление»). — Прим. пер.

13> См. Tarski A. The Concept of Truth in Formalized Languages // Tarski A. Logic, Semantic, Metamathematics. Oxford: Clarendon Press, 1956. Pp. 152-278 (статья, впервые опубликованная в 1933 г. на польском, а в 1936 г. — на немецком языке); то же в журнале «Philosophy and Phenomenilogical Research». Vol.4, 1944. Pp.341-376 (см. главу 9 настоящей книги).

Уделим некоторое место техническим деталям, которые благодаря Тарскому теперь уже стали почти тривиальными: в его теории истинность и ложность рассматриваются по существу как свойства, или классы, высказываний (statements), то есть (недвусмысленно сформулированных) теорий или пропозиций (propositions) (или «осмысленных (meaningful) предложений»)¹⁴) некоторого языка L1 (например, немецкого), о котором мы можем вполне свободно говорить на другом языке L_mi называемом метаязыком. Фразы на L_my которые тем или иным образом относятся к L1, можно назвать «метаязыковыми».

Итак, пусть *Р⁹ сокращенно обозначает одно из русских* имен немецкой (L1) фразы * Der Mond ist aus grьnem Kдse gemacht* **. (Заметим, что будучи заключена в русском тексте в (одинарные) кавычки, эта немецкая фраза становится русским метаязыковым именем — так называемым цитирующим именем (quotation name) немецкой фразы). Тогда высказывание тождества 'Р = «Der Mond ist aus grьnem Kдse gemacht»', есть, очевидно, русское метаязыковое высказывание, и мы можем сказать: 'Немецкое высказывание «Der Mond ist aus grьnem Kдse gemacht» соответствует фактам, или фактическому положению дел, если и только если луна сделана из зеленого сыра'.

Введем теперь следующее общее правило: если Р — высказывание, то *р' — сокращенное обозначение положения дел, описываемого высказыванием Р. Тогда мы можем в более общем виде сказать: 'Фраза Р языка-объекта есть высказывание, соответствующее фактам, если и только если р₁

По-русски нам следовало бы сказать, что 'Р истинно в L1* или 'Р истинно в немецком языке'. Тем не менее, истинность не определяется относительно языка: ведь если Р₁ — высказывание произвольного языка L1, а Рг есть высказывание произвольного языка L₂, то имеет место следующее: если Р₂ есть перевод Р₁ с L1 на Li, то Р₁ и Р₂ должны быть либо оба истинны, либо оба ложны — они должны иметь одно и то же значение истинности. И далее, если язык достаточно богат, чтобы содержать операцию отрицания¹⁵), то мы можем сказать, что для каждого ложного высказывания он содержит истинное высказывание. (Таким образом, мы

и* Выражение «осмысленное предложение (meaningful sentence)» (то есть предложение плюс его «смысл» (meaning), иначе говоря, высказывание или пропозиция) принадлежит Тарскому (в переводе на английский язык Вуджера). Тарского несправедливо критиковали за то, что он якобы придерживался взгляда, согласно которому истинность есть свойство (всего лишь) предложений (sentences), то есть (бессмысленных, хотя и) грамматически правильных последовательностей слов некоторого языка или формализма. На самом деле во всей своей работе Тарский обсуждает только истинность интерпретированных языков. Я не буду различать здесь высказывания, пропозиции, утверждения (assertions) и теории. * В оригинале речь идет, разумеется, об английском языке. — Прим. пер.

** 'Луна сделана из зеленого сыра'. — Прим. пер.

15) Насколько известно, все естественные языки обладают операцией отрицания, хотя известны искусственные языки, не содержащие этой операции. (Зоопсихологи даже утверждают, что нечто подобное операции отрицания можно наблюдать у крыс, которых можно научить нажимать рычаги с опознавательными знаками и понимать символы, которые меняют первоначальное значение этих знаков на логически противоположное. См. ссылки

знаем, что, грубо говоря, в каждом языке, имеющем операцию отрицания, есть столько же истинных высказываний, сколько и ложных).

Теория Тарского, в частности, делает ясным, какому именно факту соответствует высказывание Р, если оно вообще соответствует какому-нибудь факту, — именно, тому факту, что р. Она также решает проблему ложных высказываний: ложное высказывание Р ложно не потому, что оно соответствует некоей странной сущности (entity) вроде ие-факта, а просто потому, что оно не соответствует никакому факту; оно не находится ни к чему реальному в специфическом отношении «соответствия факту», хотя оно и находится в отношении типа «описывает» к ложному, то есть не имеющему места (spurious)* положению дел, при котором р. (Нет никакого смысла избегать таких выражений как «ложное положение дел» или даже «ложный факт», коль скоро мы имеем в виду, что ложный факт попросту не реален).

Хотя потребовался гений Тарского, чтобы прояснить кратко изложенные здесь принципы построенной им теории истины, сегодня действительно стало совершенно ясным, что если мы хотим говорить о соответствии высказывания факту, нам нужен метаязык, на котором мы можем высказать (state) тот факт (или предполагаемый факт), о котором говорится в рассматриваемом высказывании (используя какое-то условное или описательное имя этого высказывания). И наоборот: ясно, что если у нас есть такой метаязык, на котором мы можем говорить (а) о фактах, описываемых некоторыми высказываниями некоторого языка (объекта), просто высказывая эти факты, а также (b) о высказываниях этого языка (объекта) (используя имена этих высказываний), то мы можем также говорить на этом метаязыке и о соответствии высказываний фактам.

Крль скоро мы можем таким образом для каждого высказывания языка L1 сформулировать (state) условия, при которых оно соответствует фактам, мы можем дать чисто словесное, но соответствующее здравому смыслу¹⁶⁾ определение: высказывание истинно, если и только если оно соответствует фактам.

Это, как указывает Тарский, есть объективное (objectivist), или абсолютное (absolutist), понятие истины. Однако оно абсолютное не в том смысле, что позволяет нам высказываться с «абсолютной несомненностью или уверенностью» — ведь оно не дает нам критерия истинности. Напротив, Тарский сумел доказать, что, если L1 достаточно богат, (например, если он содержит арифметику), то не может существовать общего критерия истинности. Таким образом, критерий истинности может суще-

на Р.У.Брауна (R.W. Brown) и К.Л.Лэшли (К. L. Lashley) в Hцrmann Hans. Psychologie der Sprache. Berlin: Springer, 1967. S.51).

* Английское слово «spurious» переводится на русский как «ложный, иллюзорный, кажущийся». Представляется, что в этом контексте оно означает «не имеющее места (положение дел)». — Прим. пер.

¹⁶⁾ Тарский показывает, что для избежания парадокса «Лжец» требуется предосторожность, выходящая за пределы общепринятого здравого смысла: нам нельзя употреблять метаязыковой термин 'истинно (в Ь1У в языке L1 (см. также главу 9 настоящей книги).

ствовать только в крайне бедных искусственных языках. (Этим Тарский обязан Гёделю).

Итак, идея истины абсолютная, но мы не можем притязать на абсолютную несомненность: мы — искатели истины, но не обладатели ею¹¹⁾.

Содержание, истинностное содержание и ложностное содержание

Чтобы пояснить, что мы делаем, когда ищем истину, мы должны хотя бы в некоторых случаях быть способны указывать основания (reasons) интуитивного притязания на то, что мы подошли ближе к истине, или что некоторая теория Т₁ сменилась новой теорией, скажем Т₂, потому что Ti больше похожа на истину, чем Т₁.

Представление о том, что теория Т₁ может быть дальше от истины, чем теория Т₂, так что Т₂ является лучшим приближением к истине (или попросту лучшей теорией), чем Т₁, использовалось интуитивно многими философами, в том числе и мной. И точно так же, как понятие истины рассматривалось как подозрительное многими философами (и, как это стало ясно из рассмотрения Тарским семантических парадоксов, не без основания, с тем же подозрением смотрели и на понятия лучшего приближения, или аппроксимации, к истине, близости к истине или (как я это назвал) большей «правдоподобности (verisimilitude)» теорий.

Чтобы снять эти подозрения, я предложил логическое понятие правдоподобности, используя сочетание двух понятий, первоначально введенных Тарским: (а) понятие истины и (b) понятие (логического) содержания высказывания, то есть класса всех высказываний, логически вытекающих из данного (его «класса следствий», как обычно называл его Тарский) ¹⁸₁

'⁾Профессор Д. У. Хэмлин (D.W. Hamlyn) оказал мне большую честь, дав изложение моих взглядов на «Природу науки» (см. 'The Encyclopedia of Philosophy». Ed. by Edwards Paul. Vol. 3. P. 37). Большая часть его очерка совершенно правильна, но он совершенно не понял меня, когда суммировал мои взгляды таким образом: «Сама истина есть лишь иллюзия». Разве тот, кто отрицает, что можно достичь абсолютной несомненности в вопросе об авторстве комедий Шекспира или в вопросе об устройстве мира, тем самым принимает доктрину, согласно которой сам (или сама) автор шекспировских комедий или сам мир есть «лишь иллюзия»?

(Более ясную картину большого значения, которое я придаю понятию истины, можно найти во многих моих работах, особенно в главе 9 настоящей книги).

18) Разница между содержанием, или классом следствий, отдельною высказывания и конечного множества высказываний (такое конечное множество всегда можно заменить одним высказыванием), с одной стороны, и неаксиоматизируемым (или не финитно аксиоматизируемым) классом следствий, или содержанием, с другой стороны, важна, но здесь обсуждаться не будет. Классы следствий обоих сортов Тарский называет «дедуктивными системами»; см. гл. XII работы Тарского: Tarski A. The Concept of Truth in Formalized Languages // Tarski A. Logic, Semantic, Metamathematics. Oxford: Clarendon Press, 1956, pp. 152-278. Тарский ввел понятие класса следствий за много лет до меня. Я пришел к этому понятию позднее, независимо от Тарского, в моей книге «Logik der Forschung», где я также ввел тесно связанное с ним понятие эмпирического содержания высказывания S как класс а эмпирических высказываний, несовместимых с S (или «воспрещаемых» S). Это понятие было впоследствии воспринято Карнапом (см. в частности его ссылку на мою

Любое высказывание имеет содержание, или класс следствий, — класс всех тех высказываний, которые из него следуют. (Мы можем, вслед за Тарским, описать класс следствий тавтологических высказываний как нулевой класс, так что тавтологические высказывания имеют нулевое содержание). И каждое содержание содержит подсодержание, состоящее из всех его истинных следствий, и только из них.

Класс всех истинных высказываний, следующих из данного высказывания (или принадлежащих данной дедуктивной системе) и не являющихся тавтологиями, можно назвать его истиностным содержанием (truth content).

Истинностное содержание тавтологий (логически истинных высказываний) равно нулю: оно состоит только из тавтологий. Все остальные высказывания, включая и все ложные высказывания, имеют ненулевое истинностное содержание.

Класс ложных высказываний, вытекающих из данного высказывания, — подкласс его содержания, состоящий в точности из тех высказываний, которые ложны, — можно было бы назвать (как бы из вежливости) его «ложностным содержанием», однако он не имеет характерных свойств «содержания», или класса следствий по Тарскому. Это не дедуктивная система в смысле Тарского, поскольку из любого ложного высказывания можно логически вывести истинные высказывания. (Дизъюнкция ложного и любого истинного высказывания — пример одного из тех высказываний, которые являются истинными и следуют из ложного высказывания).

В оставшейся части этого раздела я намереваюсь разъяснить интуитивные идеи (ideas) истинностного содержания и ложностного содержания несколько более подробно, чтобы подготовить читателя к более развернутому обсуждению идеи правдоподобности. Дело в том, что правдоподобность высказывания будет определена как возрастающая с ростом его истинностного содержания и убывающая с ростом его ложностного содержания. При этом я буду широко использовать идеи Альфреда Тарского, особенно его теорию истины и его теорию классов следствий и дедуктивных систем (обе эти теории рассматриваются в примечании 18 к этому разделу; более подробное рассмотрение этого вопроса см. в главе 9 настоящей книги).

Есть возможность так определить ложностное содержание некоторого высказывания а (отличное от класса ложных высказываний, следующих из а), чтобы (а) это было содержание (или класс следствий в смысле Тарского), (b) оно содержало все ложные высказывания, следующие из а,

«Logik der Forschung» на с. 406 его книги: Carnap R. Logical Foundations of Probability, 1950). Понятие правдоподобности я ввел в 1959 или I960 году (см. примечание на с. 215 моей книги «Предположения и опровержения» {Popper K.R. Conjectures and Refutations. 3d ed., 1969)). Я хочу отметить, что в то время как в указанной книге я говорил об «истинно-содержании (truth-content)» и «ложно-содержании (falsity-content)», теперь я предпочитаю не использовать дефиса, когда эти термины используются как существительные (то есть за исключением таких — надеюсь, достаточно редких — фраз, как «мера истинно-содержания»). В этом я следую совету Уинстона Черчилля, о котором говорится на с. 255 второго издания книги Fowler. Modern English Usage, 1965.

и (с) оно не содержало бы никаких истинных высказываний. Для этого нужно только релятивизировать понятие содержания, что можно сделать вполне естественным образом.

Будем называть содержание, или класс следствий, высказывания а именем 'А' (так что в общем случае X есть содержание высказывания х). Будем вместе с Тарским называть содержание логически истинного высказывания именем «L1 L есть класс всех логически истинных высказываний: он есть общее содержание всех содержаний и всех высказываний. Мы можем сказать, что L есть нулевое содержание.

Релятивизируем теперь идею содержания, так чтобы мы могли говорить об относительном содержании высказывания а при данном контексте Y, и будем обозначать это относительное содержание символом 'а, У. Это класс всех высказываний, выводимых из а в присутствии Y, но не из одного Y.

Мы сразу же видим, что если А есть содержание высказывания а, то при релятивизированном способе записи А — a, L1 это значит, что абсолютное содержание А высказывания а равно относительному содержанию а, если задана «логика» (= нулевое содержание).

Более интересным случаем относительного содержания предположения (conjecture) а является случай a, B_t, где B_t — наше фоновое знание в момент времени t, то есть знание, которое в момент t принимается без обсуждения. Мы можем сказать, что в новом предположении а интересным является прежде всего его относительное содержание а, Б, то есть та часть содержания а.В *, которая выходит за пределы В. Точно так же, как содержание логически истинного высказывания равно нулю, так относительное содержание предположения а при данном В равно нулю, если а содержит только фоновое знание и ничего более. В общем случае мы можем сказать, что если а принадлежит B, или, что то же самое, если А С В, то а, В = 0. Таким образом, относительным содержанием высказывания ж, Y является та информация, которой х в присутствии Y превосходит Y.

Теперь мы можем определить ложностное содержание высказывания а, которое мы обозначим Ар, как содержание высказывания а при данном истинностном содержании а (то есть пересечении А? между А и Т, где Т — система, в смысле Тарского, истинных высказываний). Иначе говоря, мы можем определить:

Ар — а, Ат-

Определенное таким образом Ар отвечает нашим пожеланиям, или требованиям, адекватности: (а) Ар есть содержание, пусть даже только относительное содержание; в конце концов, абсолютные содержания — это тоже относительные содержания, если дана логическая истина (или в предположении, что L логически истинно); (b) Ар содержит все ложные высказывания, следующие из а, поскольку это дедуктивная система высказываний, которые следуют из а, принимая истинные высказывания за наш (относительный) ноль; (с) Ар не «содержит» никаких

* Здесь точка «.» между а и В означает конъюнкцию. — Прим. пер.

истинных высказываний в том смысле, что его истинные высказывания рассматриваются не как содержание, а как его (относительное) нулевое содержание.

Содержания иногда логически сравнимы, а иногда нет; они образуют частично упорядоченную систему — упорядоченную отношением включения, точно так же как высказывания образуют систему, частично упорядоченную отношением следования (entailment). Абсолютные содержания А и В сравнимы, если А С В или В С А. Для относительных содержаний условия сравнимости сложнее.

Если X есть финитно аксиоматизируемое содержание, или дедуктивная система, то существует высказывание х такое, что X есть содержание х.

Таким образом, если Y — финитно аксиоматизируемо, мы сможем написать:

x, У = х,у.

В этом случае можно видеть, что x, Y равно абсолютному содержанию конъюнкции х.у минус абсолютное содержание у.

Аналогичные соображения показывают, что а, В и с, D будут сравнимы, если

(А + В) - В сравнимо с (С + D) - D

где «+» есть сложение дедуктивных систем по Тарскому: если обе аксиоматизируемы, A + D есть содержание конъюнкции a.b.

Таким образом, сравнимость будет достаточно редкой в этой частично упорядоченной системе. Однако есть способ показать, что эта частично упорядоченная система может быть «в принципе» — то есть без противоречия — линейно упорядочена. Этим способом является применение формальной теории вероятностей. (Я утверждаю здесь только ее применимость к аксиоматизируемым системам, но не исключено, что ее можно расширить и на неаксиоматизируемые системы; см. также главу 9).

Мы можем написать 'р(X, Y)' или

(читается как «вероятность х при условии Y») и применить формальную систему аксиом для относительной вероятности, которую я изложил в других местах (например, в моей L. Sc. D., Новые приложения *iv и *v¹⁹)). В результате р(x, Y) будет числом от 0 до 1 — обычно мы не имеем представления о том, каким именно числом — и мы можем утверждать в самом общем виде, что

р(а, В) и р(с, D) в принципе совместимы.

19) Я использовал меру содержания впервые в 1954 году (ср. L. Sc. D., р. 400), а меры истинностного и ложностного содержания и т.д. — в C.&R. (р. 385). (Добавлено в 1978 г.). Нам может понадобиться также «тонкая структура» содержания (см. L. Sc. D., Новое приложение *vii).

И хотя мы обычно не имеем в нашем распоряжении достаточной информации для решения вопроса о том, имеет ли место

р(а, В) < р(с, D) или р(а, В) > р(с, D),

мы можем утверждать, что по крайней мере одно из этих отношений должно иметь место.

В результате всего этого мы можем сказать, что истинностные содержания и ложностные содержания могут быть в принципе сравнимы с помощью исчисления вероятностей.

Как я неоднократно показывал, содержание А высказывания а будет тем больше, чем меньше логическая вероятность р(а) или р(А). Потому что чем больше информации несет высказывание, тем меньше будет логическая вероятность того, что оно (как бы случайно) истинно. Поэтому мы можем ввести некоторую «меру» содержания (ее можно использовать в основном топологически, то есть как показатель линейного порядка):

или (абсолютное) содержание а, а также относительные меры

d(a, b) и d(a, Б),

то есть относительное содержание а при условии, соответственно, Ь или В. (Если В аксиоматизируемо, то мы, конечно, сразу же получаем сЬ{а,Ъ) = cb{a,В).) Эти «меры (measures)» et можно задать с помощью исчисления вероятностей, то есть с помощью определения

Теперь в нашем распоряжении есть средства для определения (мер) истинностного содержания ct_T(a) и ложностного содержания ct_F(a):

ct_T(a) = ct(A_T),

где At, как и раньше, есть пересечение А и системы, в смысле Тарского, всех истинных высказываний; и

ct_F(a) = d(o, A_T)у

то есть ложностное содержание (его мера) есть относительное содержание (его мера) а при данном At — истинностном содержании а. Другими словами, это есть степень, в которой а выходит за пределы тех высказываний, которые (а) следуют из а и (b) истинны.