Задания. Пример 1.Разложить на множители число 2009.

Пример 1.Разложить на множители число 2009.

Решение. Само число 2009 не является квадратом (44² = 1936, 45² = 2025). Будем прибавлять к числу 2009 последовательные нечётные числа до получения квадрата: 2009+1+3+5+7 = 2025 = 45², то есть 2009 + 4² = 45². Тем самым 2009 = 45²- 4² = (45 - 4)(45 + 4) = 41*49 = 41*7².

Ответ:2009 = 41*7².

Разберём примеры, в которых требуется разложить на множители число, заданное алгебраическим или числовым выражением, либо выяснить его простоту.

4 2

Пример 2.При каких целых значениях п число 3 п— 10 п +3 является простым? Найти это простое число.

Решение. Чтобы разложить данное выражение на множители, можно ввести

t = n²и найти корни уравнения 3t² —10 t + 3 = 0: t₁ =3,t₂ = 1, следова­тельно, 3 n ⁴ -10 n ² +3 = 3(n ² -3)( n ²----) = (n ²-3)(3 n ²-1). Для того,

чтобы это выражение имело простое значение, необходимо, чтобы одна скобка равнялась 1, в то время как вторая была простым числом.

Если п ²— 3 = 1, то п = +2 , при этом 3 n ²—1=11- простое число. Вто­рой случай 3 n ²—1 = 1, 3 n ²= 2 невозможен при целом значении п.

Ответ:при п = +2 число равно 11.

В следующем примере применяется метод выделения полного квадрата. Выделение квадрата возможно в двух ситуациях:

1) когда есть квадрат первого числа и удвоенное произведение первого на второе, надо добавить и вычесть квадрат второго числа;

2)когда есть сумма квадратов двух чисел, надо добавить и вычесть их удво­енное произведение.

Пример 3.Может ли число п⁴ + 64 быть простым при каких-либо целых и?

Решение. Дополним выражение п ⁴ + 64 = (п ² )² +8² до квадрата суммы:

(п ²)² - 2 п ²-8 + 8² - 16 п ² = (п ² - 8)² - (4 п)² = (п ² - 4n + 8)( п ² + 4n + 8) = = ((п - 2) ² + 4)(( п + 2) ²- 4). Ясно, что обе скобки не меньше 4, так что данное выражение всегда представляет собой составное число.

Ответ:число п ⁴ + 64 составное при любом целом значении п.

Пример 4.Разложить 2³² + 2¹⁶ + 1 на два множителя, большие 30 000.

Решение. Воспользуемся выделением полного квадрата:

2³² + 2¹⁶ + 1 = (2¹⁶)² + 2-2¹⁶ + 1 - 2¹⁶ = (2¹⁶ + 1)² - (2⁸)² = (2¹⁶ + 1 - 2⁸)(2¹⁶ + 1 + 2⁸) по формуле разности квадратов. Оценим сомножители: 2¹⁶+ 1-2⁸>2⁸(2⁸-1) >2⁸-2⁷ = 2⁵-2¹⁰> 32-1000 = 32-1000, вторая скобка еще больше.

Рассмотрим применение тождеств (I) и (II).

Пример 5(первый опрос).Доказать, что число z = 15 ^п - 8 ^п + 6.36 ^п + 1 делится на 14 при любом натуральном значении числа п.

Решение. По формуле (I):

15 ^п - 8 ^п = (15-8)(15 ^п-1 +--- + 15-8 ^п-2 +8 ^п-1) делится на 7.

Третье слагаемое запишем как степень шести: 6•36 ^п = 6 ^{2 п +-1} . Применим к треть­ему и четвёртому слагаемым формулу (П):

6 ^{2 п +-1} +1 = (6 + 1)(6^{2 п} • 6^{2 п} -¹ +----6 + 1).

Так как z = (15 ^п — 8 ^п) + (6 • 36 ^п +1) и обе скобки делятся на 7, то z делится на 7. Кроме того, числа 15 ^п +1, 8 ^п и 6-36 ^п чётные, поэтому z делится на 2. А так как числа 2 и 7 взаимно простые, то z делится на 2-7 = 14, согласно свойству 3.

При помощи свойств 4 и 5 можно доказать, что квадратный корень из простого числа р есть число иррациональное, т.е. не представимое в виде обыкновенной дроби.

При проведения формирующего эксперимента была разработана методика обучения темы: «Элементы теории чисел» в классах с углублённым обучением математики, в конце пройденного курса "Элементы теория чисел " школьникам были предложены пять заданий, четыре из которых входили в контрольную работу, а пятое задание было другое (которое не входило в методику). Каждое предложенное школьнику задание оценивалось по трёхбальной шкале (1 балл – чуть расписал, 2 –разложил, но есть ошибки в вычислениях, 3- всё решил), а оценка формировалась в зависимости от количества полученных баллов, после этого проведено исследование с помощью медианного критерия, критерия Макнамары, критерия Вилкоксона-Манна_Уитни.