Визначення натуральної величини відрізка прямої лінії

Під час розв’язання задач інженерної графіки в деяких випадках з'являється необхідність у визначенні натуральної величини відрізка прямої лінії. Розв’язати цю задачу можна декількома способами: способом прямокутного трикутника, способом обертання, плоскопаралельного переміщення, заміною площин проекцій.

Розглянемо приклад побудови зображення відрізка в натуральній величині на комплексному кресленні способом прямокутного трикутника. Якщо відрізок розташований паралельно будь-якій із площин проекцій, то на цю площину він проеціюється в натуральну величину. Якщо ж відрізок зображений прямою загального положення, то на жодній із площин проекцій не можна визначити його натуральну величину.

Візьмемо відрізок загального положення АВ (A € П₁) і побудуємо його ортоґональну проекцію на горизонтальній площині проекцій (рис. 3.14, а). У просторі при цьому утвориться прямокутник А₁ВВ₁, у якому гіпотенузою є сам відрізок, одним катетом – горизонтальна проекція цього відрізка, а другим катетом – різниця висот точок А і В відрізка. Оскільки з кресленням прямої легко визначити різницю висот точок її відрізка, то можна побудувати за горизонтальною проекцією відрізка (рис. 3.14, б) прямокутний трикутник, узявши другим катетом перевищення однієї точки над другою. Гіпотенуза цього трикутника і буде натуральною величиною відрізка АВ.

Аналогічну побудову можна зробити на фронтальній проекції відрізка, тільки як другий катет треба взяти різницю глибин його кінців (рис 3.14, в), заміряну на площині П₁.

Рисунок 3.14

Зображення площини на кресленні

Площина на кресленні може бути задана різними способами:

- трьома точками, які не лежать на одній прямі Ω (A, В, С) (рис. 3.15, а);

- прямою і точкою, що не лежить на цій прямій Ω (a, A) (рис. 3.15, б);

- двома прямими, що перетинаються Ω (a ∩ b) (рис. 3.15, в);

- двома паралельними прямими Ω (a || b) (рис. 3.15, г);

- будь-якою плоскою фіґурою, наприклад, трикутником Ω (ABC) (рис. 3.15, д).

Площини, задані на кресленні одним із таких способів, не обмежуються проекціями її визначальних елементів.

Розглядаючи комплексне креслення площини, можна переконатися, що кожний з названих способів задання її допускає можливість переходу від одного до іншого.

Рисунок 3.15

Розташування площини щодо площин проекцій. Взаємне розташування двох площин

За розташуванням відносно площин проекцій площини поділяють на площини загального та особливого положення.

До площин загального положення належать площини, непаралельні й неперпендикулярні жодній із площин проекцій. На комплексному кресленні (рис. 3.15) проекції елементів, якими задана площина, як правило, займають загальне положення.

До площин особливого положення належать площини, паралельні чи перпендикулярні до однієї із площин проекцій.

У свою чергу, площини особливого положення поділяються на проеціюючі площини, і площини рівня. До проеціюючих площин належать площини, перпендикулярні до однієї з площин проекцій. Усі проеціюючі площини позначаємо буквою Σ. Проеціюючі площини можуть бути перпендикулярні до П₁, П₂ чи П₃. Залежно від цього розрізняють горизонтально-проеціюючі площини, коли Σ _|_ П₁; фронтально-проеціюючі площини, коли Σ _|_ П₂; профільно-проеціюючі площини, коли Σ _|_ П₃.

Проеціююча площина вирізняється тим, що проекція її на площину проекцій, їй перпендикулярній, завжди зображується у вигляді прямої лінії. Проекція площини, вираженої в прямій, повністю визначає положення площини відносно площин проекцій. Наприклад, на рис. 3.16,а наведено комплексне креслення площини Σ, заданої двома паралельними прямими. З рисунка видно, що Σ (а || b) є горизонтально-проеціюючою площиною, і розташована під кутом β до фронтальної площини проекцій і під кутом γ до профільної площини проекцій.

Рисунок 3.16

На рис. 3.16,б наведено комплексне креслення фронтально-проеціюючої площини Σ, що складає кут α з горизонтальною площиною проекцій і кут γ з фронтальною площиною проекцій. Це можна записати так: AВС ~ (A₂ ~ Σ₂, B₂ ~ Σ₂, C₂ ~ Σ₂).

Наявність виродженої проекції дає можливість задавати проеціюючі площини на комплексному кресленні тільки однією проекцією. На рис. 3.16,в через точку А проведено профільно-проеціюючу площину (Σ _|_ П₃) під кутом α до П₁.

Усі зображення, розташовані в заданій площині, проеціюються із спотворенням.

До площин рівня належать площини, паралельні одній із площин проекцій. Можна вважати, що їх двічі проеціюючими площинами, тому що в них на комплексному кресленні дві проекції мають вигляд прямої, розташованої під прямим кутом до лінії зв'язку, а третя проекція дає зображення всіх елементів, що лежать у цій площині, натуральної величини. Площини рівня зазвичай позначаються: Γ – горизонтальна площина рівня; Ф – фронтальна площина рівня; Ψ – профільна площина рівня. На рис. 3.17,а подано комплексне креслення площини горизонтального рівня (Г || П₁); на рис. 3.17,б наведено комплексне креслення площини фронтального рівня (Ф || П₂), Ф є АВС, А₂В₂С₂ – дійсна величина трикутника ABC; на рис. 3.17,в показано комплексне креслення площини профільного рівня, яку задано прямою і точкою (Ψ || П₃).

Рисунок 3.17

Площини рівня схожі з проеціюючими тим, що також проеціюються у вигляді лінії на площини, до яких вони перпендикулярні, а вирізняються тим, що на площину проекцій, паралельну заданій площині, усі зображення цієї площини проеціюються без спотворення, тобто в натуральну величину.

Рисунок 3.18

Дві площини в просторі можуть бути паралельними чи перетинатися. Площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини паралельні двом прямим, які перетинаються другої площини. На рис 3.18 показано паралельні площини: Σ1 (а ∩ b) і Σ2 (c ∩ d), причому а || с, b || d.

Якщо площини перетинаються, то лінія їхнього перетинання – пряма. Площини, перпендикулярні між собою, являють випадок їх перетинання, коли кут між площинами складає 90°.

Взаємне розташування точки, прямої та площини

Пряма може належати і не належати площині. Вона належить площині, якщо хоча б дві точки її лежать на площині. На рис. 3.19 показано площину Σ (a∩b). Пряма l належить площині Σ, тому що її точки 1 і 2 належать цій площині.

Якщо пряма не належить площині, вона може бути паралельна їй чи перетинати її.

Пряма, паралельна площині, якщо вона паралельна іншій прямій, що належить цій площині. На рис 3.20 пряма m || Σ, тому що вона паралельна прямій l, яка належить цій площині.

Рисунок 3.19

Пряма може перетинати площину під різними кутами і, зокрема, бути перпендикулярна до неї.

Точка відносно площини може бути розташована таким способом: належати чи не належати їй. Точка належить площині, якщо вона розташована на прямій, розташованій у цій площині. На рис. 3.20 показано комплексне креслення площини Σ, яка задана двома паралельними прямими (l || п). У площині розташована лінія m. Точка A належить площині Σ, тому що вона лежить на прямій m. Точка В не належить площині Σ, тому що її друга проекція не лежить на відповідній проекції прямої.

Рисунок 3.20

Основні лінії в площині

До основних ліній у площині можна віднести лінії, паралельні площині проекцій. Їх називають лініями рівня.

Лінію, яка паралельна горизонтальній площині проекцій, або належить їй – називають горизонталлю площини (рис. 3.21,а). Побудову горизонталі завжди починають з її фронтальної проекції: h (A,1) ~ Θ (ABC); h₂ ~ A₂; h₂ _|_ A₂A_l; h₂ ∩ B₂C₂ = 1₂; 1₂1₁ || A₂A₁.

Лінію, яка паралельна фронтальній площині проекцій, або належить їй – називають фронталлю площини (рис. 3.21,б). Побудову фронталі починають з горизонтальної проекції: f (F,1) ~ Δ (DFE); f₁ ~ F₁; f₁ _|_ F₁F₂; f₁ ∩ D₁E₁ = l₁; 1₁1₂ || F₁F₂.

Розглядаючи основні лінії в площинах особливого положення, можна переконатися, що відповідні лінії рівня в цьому випадку будуть проеціюючими.

На рис. 3.21,в показано горизонталь h фронтально-проеціюючої площини Σ. У даному випадку вона буде також фронтально-проеціюючою, тобто h € Σ; Σ_|_ П_2.

Рисунок 3.21

Питання і завдання для самоперевірки

1. Дайте визначення комплексного креслення.

2. Назвіть і позначте основні площини проекцій.

3. Що таке вертикальна лінія зв'язку, горизонтальна лінія зв'язку?

4. Як називається відстань, що визначає положення точки відносно площини проекцій П₁, П₂?

5. Як побудувати горизонтальну проекцію точки, якщо на кресленні є її фронтальна, профільна проекції?

6. Як побудувати фронтальну проекцію точки за даними горизонтальної та профільної проекцій точки?

7. Як побудувати додаткову проекцію точки на площині П₄ _|_ П₂, П₄_|_ П₁, П₅ _|_ П₄?

8. Які координати точки можна визначити за її горизонтальною, профільною проекціями?

9. Як можна побудувати комплексне креслення точки за її координатами?

10. Чим визначається проекція прямої лінії?

11. Яке положення може займати пряма відносно площин проекцій?

12. Які лінії належать до ліній рівня? Які лінії рівня ви знаєте?

13. Які лінії належать до проеціюючих? Назвіть види проеціюючих ліній.

14. Як визначити натуральну величину відрізка за його комплексним кресленням?

15. Як можуть бути розташовані в просторі дві прямі лінії?

16. Назвіть способи задання площини.

17. Яке положення може займати площина відносно площин проекцій?

18. Які бувають площини особливого положення?

19. Назвіть головні лінії площини.

Задача 2. Побудувати сліди прямої l, заданої точками А і В. Варіанти завдань узяти з таблиці 4. Приклад виконання подано на рис. 3.22.

Таблиця 4

Рисунок 3.22

Задача 3. Визначити дійсну величину відрізка АВ та кути нахилу його до площин проекцій. Для розв’язання задачі використити спосіб прямокутного трикутника. Варіанти завдань узяти з таблиці 5 Приклад виконання подано на рис. 3.23

Таблиця 5

Рисунок 3.23