УЗАГАЛЬНЕНІ ПОЗИЦІЙНІ ЗАДАЧІ. РОЗГОРТКА ПОВЕРХОНЬ

Переріз поверхні площиною

При перерізанні поверхні з площиною одержують плоску лінію. Цю лінію будують за окремими точками. На початку побудови насамперед виявляють і будують опорні точки, що лежать на контурних лініях поверхні, а також точки на ребрах і лініях основи поверхні. У тих випадках, коли проекція лінії перерізу не повністю визначається цими точками, будують додаткові, проміжні точки, розташовані між опорними.

У даному розділі розглядаються випадки перерізу поверхні площинами особливого положення, тому що у випадку наявності січної площини загального положення креслення завжди можна перетворити так, щоб січна площина стала проеціюючою.

Рисунок 6.1

У випадку перерізу гранної поверхні площиною виходить плоска ламана лінія. Щоб побудувати цю лінію, досить визначити точки перетину з площиною ребер і сторін основи, якщо має місце перетинання основи, і з'єднати побудовані точки з урахуванням їх видимості (рис. 6.1,а). Січна площина Σ займає фронтально проеціююче положення, у цьому випадку точки перетинання ребер визначаються без додаткових побудов:

AS ∩ Σ = 1 (1₂; l₁); ВS ∩ Σ = 2 (2₂; 2₁); СS ∩ Σ = 3 (3₂; 3₁).

Тому що грань ACS відносно площини П₁ невидима, то й лінія l₁-3₁ теж невидима.

У випадку перерізу циліндричної поверхні обертання площиною можуть бути отримані наступні лінії (рис. 6.1,б):

- коло, якщо січна площина Г перпендикулярна до осі обертання поверхні;

- еліпс, якщо січна площина Σ не перпендикулярна і не паралельна осі обертання;

- дві твірні прямі, якщо січна площина Ψ паралельна осі поверхні.

На площину П₁, перпендикулярну до осі обертання поверхні, коло та еліпс на поверхні циліндра проеціюються в коло, яке збігається з проекцією всієї поверхні.

При перерізанні конічної поверхні обертання площиною можуть бути отримані наступні лінії (рис. 6.2, а – д):

- коло, якщо січна площина Г перпендикулярна до осі обертання (а);

- еліпс, якщо січна площина Σ¹ перетинає всі твірні поверхні (б);

- парабола, якщо січна площина Σ² паралельна тільки одній твірній (S-1) поверхні (в);

- гіпербола, якщо січна площина Σ³ паралельна двом твірним (S-5 і 5-6) поверхні (г);

- дві твірні (прямі), якщо січна площина Σ⁴ проходить через вершину S поверхні (д).

Проекції кривих ліній перерізів площиною конуса будуються за окремими точками (точки 2, 4 на рис. 6.2, б).

Рисунок 6.2

Рисунок 6.3

При перерізі сфери площиною завжди виходить коло. Якщо січна площина паралельна будь-якій площині проекцій, то на цю площину коло перерізу проеціюється без спотворення (рис. 6.3,а). Якщо січна площина займає проеціююче положення, то на площині проекцій, якій січна площина перпендикулярна (Σ_|_П₂ рис. 6.3,б), коло перерізу зображується відрізком прямої (1₂ - 4₂), довжина якого дорівнює діаметру кола, а на іншій площині – еліпсом, велика вісь якого (5₁ - 6₁) дорівнює діаметру кола перерізу. Цей еліпс будують за точками. Точки видимості 2 і 3 відносно площини П₁ лежать на екваторі сфери.

Задача побудови лінії перерізу трохи складніша при перерізі сфери площиною загального положення Θ (a ∩ h) (рис. 6.4).

Рисунок 6.4

Цей випадок можна звести до попереднього (рис. 6.3,б), якщо побудувати додаткові зображення сфери і січної площини на площині П₄ _|_П₁, причому П₄ _|_h. Тоді площина стане проеціюючою Θ _|_ П₄ у новій системі площин (рис. 6.4). На кресленні осі проекції проходять через центр сфери. На площині П₄ відмічаємо проекції опорних точок: А₄ – найнижчу точку перетину, В₄ – найвищу, що дають величину діаметра d кола перерізу з центром у точці О (О₄); Е₄ ≡ F₄ – на екваторі сфери – точки видимості лінії перетину відносно площини П₁; С₄ ≡ D₄ ≡ O₄ - горизонтальний діаметр CD, що визначає велику вісь еліпса – горизонтальну проекцію кола перерізу. Горизонтальна проекція перетину – еліпс – легко будується за великою C₁D₁ і малою А₁В₁ вісями. Фронтальна проекція кола теж еліпс, який можна побудувати за сполученими діаметрами A₂B₂ і C₂D₂ (висоти цих точок відмічені на площині П₂ і на площині П₄) за допомогою описаного паралелограма. Видимість кола перерізу відносно площини П₂ визначається точками G і N, отриманими в перетині головного меридіана сфери f із площиною Φ. Для цього взята допоміжна площина рівня Ф: Ф ~ f; Ф ∩ Q = 2-3; f₂ ∩ 2₂-3₂ = N₂ і G₂.