ВЗАЄМНИЙ ПЕРЕТИН ПОВЕРХОНЬ

При взаємному перетині двох поверхонь утворюється лінія, яка у загальному випадку є просторовою кривою, що може розпадатися на дві й більше частин. Причому отримані частини можуть бути плоскими і просторовими, прямими і кривими лініями.

Якщо перерізуються гранні поверхні, у загальному випадку виходить просторова ламана лінія, яка складається з прямолінійних відрізків.

Рисунок 7.1

Лінію перетину двох поверхонь будують за окремими точками. Спочатку в перетині контурних ліній однієї поверхні з іншою визначають і будують опорні точки. Побудова цих точок дозволяє бачити, у яких межах розташовані проекції лінії перерізу і де між ними має сенс побудувати проміжні (чи випадкові) точки. При побудові точок перетину двох поверхонь варто пам'ятати, що проекції цих ліній завжди розташовуються в межах площі накладання однойменних проекцій поверхонь, що перерізуються. На рис. 7.1 зображено дві поверхні, що перерізуються. Площа перерізу – заштрихована. У межах цієї площі й буде розташована лінія перетину заданих поверхонь на даній площині проекцій.

Загальним способом побудови точок лінії перерізу двох поверхонь є спосіб допоміжних поверхонь–посередників. Посередники перерізують задані поверхні по лініях, бажано графічно простих. Тоді в перетині цих ліній знаходять точки, що належать обом поверхням, а виходить, і лінії їх перерізу. Як поверхні-посередники використовують площини чи сфери. Залежно від набутого вигляду посередника іменують і спосіб побудови лінії перерізу: спосіб допоміжних січних площин чи спосіб допоміжних сфер.

Побудова лінії перерізу поверхонь способом допоміжних січних площин

При побудові лінії перерізу двох поверхонь способом допоміжних січних площин – січні площини, узяті як посередники, можуть бути як загального, так і особливого положення. Більш широке застосування знаходять площини особливого положення.

Площини загального положення застосовуються в обмежених випадках. Наприклад, їх зручно використовувати при побудові ліній перерізу конічних і циліндричних, а також пірамідальних і призматичних поверхонь загального вигляду, коли основи цих поверхонь розташовані в одній і тій самій площині.

Розв’язання задачі побудови лінії перерізу двох поверхонь способом допоміжних січних площин розглянемо на прикладі перерізу конуса обертання зі сферою. Як поверхні–посередники візьмемо площини особливого положення – горизонтального рівня. На рис. 7.2 спочатку позначимо очевидні загальні точки А і В поверхонь у перетині їх головних меридіанів f і 1-S-2, тому що поверхні мають загальну фронтальну площину симетрії Ф(Ф₁): f₂ ∩ S₂-2₂ = А₂(В₂); A₂A_l(B₂B_l) || S₂S₁; A₂A_l(B₂B_l) ∩ f₁ = A₁(B₁).

Ці опорні точки є найвищої А і найнижчої В точками лінії перерізу, а також точками видимості лінії на площині П₂.

Брати допоміжні фронтальні площини, паралельні П₂, для побудови наступних точок незручно, тому що вони будуть перетинати конус по гіперболах. Графічні прості лінії (кола паралелей) на даних поверхнях утворюються в результаті перетинання їх горизонтальними площинами рівня Г.

.

Рисунок 7.2

Першу таку допоміжну площину Г¹ беремо на рівні екватора сфери h. Ця площина перетинає конус по паралелі h¹. На перетині цих паралелей знаходяться точки видимості лінії перерізу відносно площини П₁: h₁ ∩ h¹₁ = С₁ (D₁); С₁С₂ (D₁D₂) || S₁S₂; C₁С₂ (D₁D₂) ∩ h₂ (h^l₂) = C₂ (D₂).

Проміжні точки М (N), E (F) знаходять аналогічно за допомогою площин– посередників Г² і Г³.

Якщо поверхні обертання, що перетинаються, не мають загальної фронтальної площини симетрії (рис. 7.3), то найвищу А і найнижчу В точки лінії перерізу легко визначити, побудувавши зображення цих поверхонь на площині П₄, паралельній осьовій площині Σ (Σ₁) даних поверхонь. Можна побудувати проекції всієї лінії перерізу в системі площин П₁_|_П₄, а потім побудувати її фронтальну проекцію в проекційному зв'язку з горизонтальною проекцією, заміряючи висоти точок на площині П₄, оскільки це показано на рис. 7.4 для точок А і В.

Рисунок 7.3

Побудова лінії перерізу поверхонь способом допоміжних сфер

При побудові лінії перерізу поверхонь особливості перерізу співвісних поверхонь обертання дозволяють за допоміжні поверхні–посередники використовувати сфери, співвісні з даними поверхнями.

До співвісних поверхонь обертання належать поверхні, що мають загальну вісь обертання. На рис. 7.5 зображено співвісні циліндр і сфера (рис. 7.5,а), співвісні конус і сфера (рис. 7.5,б) і співвісні циліндр і конус (рис. 7.5,в).

Рисунок 7.5

Співвісні поверхні обертання завжди перетинаються по колах, які розташовані в площинах перпендикулярних до осі обертання. Цих загальних для обох поверхонь кіл стільки, скільки існує точок перетину обрисових ліній поверхонь. Поверхні на рис. 7.5 перерізуються по колах, що створюються точками 1 і 2, перетину їх головних меридіанів.

Допоміжна сфера–посередник перетинає кожну із заданих поверхонь по колу. У перетині цих кіл виходять точки, що належать обом поверхням, а значить, і лінії перерізу.

Якщо осі поверхонь перетинаються, то допоміжні сфери проводять з одного центра – точки перетину осей. Лінію перерізу поверхонь у цьому випадку будують способом допоміжних концентричних сфер.

При побудові лінії перерізу поверхонь для використання способу допоміжних концентричних сфер необхідне виконання наступних умов:

1) перерізання поверхонь обертання;

2) осі поверхонь – прямі, що перетинаються – паралельні одній із площин проекцій, тобто існує загальна площина симетрії;

3) не можна використовувати спосіб допоміжних січних площин, тому що вони не утворюють графічно простих ліній на поверхнях.

Зазвичай спосіб допоміжних сфер використовується у поєднанні зі способом допоміжних січних площин. На рис. 7.6 побудовано лінію перерізу двох конічних поверхонь обертання з осями обертання, які перетинаються у фронтальній площині рівня Ф (Ф₁). Отже, головні меридіани цих поверхонь перетинаються і дають у своєму перетині точки видимості лінії перерізу відносно площини П₂ – найвищу А і найнижчу В точки. У перетині горизонтального меридіана h і паралелі h¹, що лежать в одній допоміжній січній площині Г (Г₂), визначені точки видимості С і D лінії перерізу відносно площини П₁. Використовувати допоміжні січні площини для побудови додаткових точок лінії перерізу недоцільно, тому що площини, паралельні Ф, будуть перерізувати обидві поверхоні по гіперболах, а площини, паралельні Г, будуть давати в перерізі поверхонь кола і гіперболи. Допоміжні горизонтально чи фронтально проеціюючі площини проведені через вершину однієї з поверхонь, будуть перетинати їх по твірних та еліпсах. У даному прикладі виконані умови, які дозволяють застосування способу допоміжних сфер для побудови точок лінії перерізу. Осі поверхонь обертання перетинаються в точці О (О₁;О₂), що є центром допоміжних сфер, радіус сфери змінюється в межах R_mіn < R < R_mах. Радіус максимальної сфери визначається відстанню від центра О до найбільш віддаленої точки В (R_max = О₂В₂), а радіус мінімальної сфери визначається як радіус сфери, що дотична до однієї поверхні (по колу h₂) і перерізує іншу (по колу h₃).

Рисунок 7.6

Площини цих кіл перпендикулярні до осей обертання поверхонь. У перетині цих кіл одержуємо точки Е і F, що належать лінії перерізу поверхонь:

h²₂ ∩ h³₂ = E₂ (F₂); Е₂Е₁ || А₂А₁;

Е₂Е₁ ∩ h²₁ = E₁; F₂F ∩ h₁ = F₁.

Проміжна сфера радіуса R перерізує поверхні по колах h⁴ і h⁵, у перетині яких знаходяться точки М і N:

h⁴₂ ∩ h⁵₂ = M₂ (N₂); M₂M₁ || А₂А₁;

М₂М₁ ∩ h⁴₁ = М₁; N₂N₁ ∩ h⁴₁ = N₁.

З'єднавши однойменні проекції побудованих точок з урахуванням їх видимості, одержуємо проекції лінії перерізу поверхонь.

Питання і завдання для самоперевірки

1. Як будують лінію перерізу двох поверхонь?

2. Які допоміжні поверхні зручно використовувати при побудові точок лінії перерізу двох поверхонь?

3. У чому сутність способу допоміжних січних площин у побудові лінії перерізу двох поверхонь?

4. По яких лініях перерізуються співвісні поверхні обертання?

5. Коли можна використовувати допоміжні сфери при побудові лінії перерізу двох поверхонь?

Задача 11. Побудувати три проекції геометричних тіл, що перерізуються, та проекції лінії їх взаємного пререрізу. Задачу розв’язати способом допоміжних січних площин Варіанти завдань взяти з таблиці 11. Приклад виконання подано на рис. 7.7.

Таблиця 11

1	2
3	4
5	6
7	8
9	10
11	12
13	14
15	16
17	18
19	20
21	22
23	24
25	26
27	28
29	30

Рисунок 7.7

Задача 12. Побудувати лінію взаємного переріу двох поверхонь.Задачу розв’язати способом допоміжних сфер-посередників. Варіанти завдань узяти з таблиць 12 і 13. Приклад виконання подано на рис. 7.8.

Таблиця 12

Таблиця 13

Рисунок 7.8