Розгортки пірамідальних і конічних поверхонь

При розгортанні поверхні на площині кожній точці поверхні відповідає єдина точка на розгортці: лінія поверхні переходить у лінію розгортки; довжини ліній, величини плоских кутів і площ, обмежених замкнутими лініями, залишаються невиміряними. Таким чином, процес побудови розгортки зводиться до відшукування дійсної величини кожного елемента поверхні та зображення їх на площині.

Кожна бічна грань на розгортці піраміди будується як трикутник за трьома сторонами – спосіб тріанґуляції (рис. 6.7). CS – саме коротке бічне ребро, тому раціональніше уявно розрізати піраміду по цьому ребру. Для нанесення на розгортку точок D, Е і F, що відповідають вершинам перерізу піраміди площиною Σ, потрібно визначити дійсні відстані цих точок від вершини S. Після побудови розгортки бічної поверхні зрізаної частини піраміди потрібно прибудувати до неї трикутники АBС і DEF, що є дійсними величинами основи і перерізу піраміди.

Рисунок 6.7

На рис. 6.8 способом тріанґуляції побудовано розгортку конічної поверхні, що замінена поверхнею вписаної в неї дванадцятикутової піраміди. Розгортка являє собою симетричну фіґуру, тому що поверхня має площину симетрії Σ. У цій площині лежить найкоротша твірна S-6. По ній і виконаний розріз поверхні. Найдовша твірна S-0 є віссю симетрії розгортки поверхні.

Дійсні величини твірних визначені способом обертання навколо горизонтально проеціюючої прямої, що проходить через вершину S, як у попередній задачі. Від осі симетрії S-0 будуємо шість в один бік і шість в інший суміжних один до одного трикутників зі спільною вершиною S. Кожний із трикутників будуємо за трьома сторонами, при цьому дві сторони дорівнюють дійсним величинам твірних, а третя – хорді, що стягує дугу кола основи між сусідніми точками розподілу. Побудовані на розгортці точки 0, 1, 2, ... з'єднуються. Побудова розгортки значно спрощується, якщо поверхня зображена прямою пірамідою правильної форми чи прямим коловим конусом.

Рисунок 6.8

На рис. 6.9 наведено розгортку чотиригранної прямої піраміди. Побудова її спрощується тим, що твірні піраміди AS і CS паралельні фронтальній площині проекцій і на неї проеціюються у натуральну величини. Основа ж піраміди ABCD лежить у площині, паралельній горизонтальній площині проекцій, і на неї проеціююється натуральної величини. Для побудови розгортки досить побудувати сторону AS і зробити засічки радіусом дуги, рівним BS і АВ із точок S і А, відповідно одержимо точку В і т. д. Основу натуральної величини можна побудувати на базі однієї з її сторін (на рис. 6.8 – на базі сторони ВС). Положення точки на поверхні розгортки піраміди визначимо в наступному порядку: через фронтальну проекцію точки М (М₂) проведемо горизонтальну лінію до перетину з проекціями ребр A₂S₂ і B₂S₂. Одержимо точки 1 і 2. На лінії AS розгортки від точки А відкладемо відрізок h, який отримано з точки 1, проведемо лінію 1-2 паралельно AD, на якій нанесемо точку М у тому положенні, яке вона займає на горизонтальній проекції лінії 1-2.

Рисунок 6.9

На рис. 6.10 наведено приклад побудови розгортки прямого колового конуса. Для побудови її використовуємо те, що обрисова твірна конуса l на фронтальну площину проеціююється дійсної величини. Вибравши положення вершини розгортки – точку S, радіусом l проводимо дугу і відкладаємо на ній 12 рівних частин, на які попередньо розділили коло основи конуса, зображеного на горизонтальній площині проекції в дійсну величину. Чим на більшу кількість рівних ділянок розділимо коло, тим точніше побудуємо розгортку. Положення точки М на розгортці поверхні конуса визначимо в такий спосіб: через фронтальну проекцію точки проведемо твірну і побудуємо її горизонтальну проекцію. Визначимо, що твірна перетнула основу конуса між точками 5 і 6. Точку К переносимо на дугу розгортки, розташувавши її між точками 5 і 6, і з'єднаємо з вершиною конуса розгортки S. З проекції M₂ проведемо горизонтальну лінію до перетину з обрисовою твірною l і одержимо проекцію M¢₂. Відстань від основи конуса до точки M¢₂ є дійсним відрізком, який відкладаємо на розгортці від точки К на лінії KS. Отримана точка визначить дійсне положення точки M на розгортці. Таким чином, розгортку конічної поверхні побудували за допомогою сусідніх точок кола основи, у яку вписаний правильний дванадцятикутник, тобто конічна поверхня умовно замінена вписаною поверхнею, правильною дванадцятикутною пірамідою, а для побудови розгортки застосований спосіб тріанґуляції.

Рисунок 6.10

Розгортки призматичних і циліндричних поверхонь

Розгорнення призматичних і циліндричних поверхонь будують способом нормального перерізу. Поверхню розсікають площиною, перпендикулярною до її твірних (ребер), і визначають дійсню величину нормального перерізу. Лінію нормального перерізу розгортають у пряму. Тоді твірні (ребра) поверхні при розгортці її на площину розташовуються перпендикулярно до розгортки лінії нормального перерізу, що беруть як базу відліку розмірів твірних (ребер).

Рисунок 6.11

На рис. 6.11 побудовано повну розгортку поверхні трикутної призми ABCDEF. Оскільки бічні ребра призми BE, AD і CF паралельні площині П₂, то вони зображені на фронтальній площині проекцій дійсної величини. Площина нормального перерізу Σ (Σ₂) є фронтально проеціюючою площиною. Нормальний переріз PQR призми побудовано дійсної величини на площині П₄, паралельній площині Σ і перпендикулярній до площини П₂. Лінію нормального перерізу розгортають на пряму і через точки Р, Q, R, і Р проводять прямі, перпендикулярні до розгорненої лінії нормального перетину. На кожному з побудованих перпендикулярів відкладають по два боки від лінії Р–Р відрізки бічних ребер, виміряні на площині П₂ (до нормального перерізу і після нього). Відмічають точки ребер на розгортці А і D; С і F; В і Е, з'єднують їх відрізками прямих, що дають дійсну величину сторін основи призми. Приєднуючи до розгортки бічної поверхні призми обидві основи (трикутники АВС і DEF), отримують повну розгортку призми. На розгортку призми нанесено точку М, що належить грані призми ACFD, за допомогою допоміжної прямої, яка паралельна ребрам призми, і перетинає нормальний переріз у точці 1.

Рисунок 6.12

На рис. 6.12 побудовано розгортку бічної поверхні еліптичного циліндра, у який для побудови розгортки вписано дванадцятикутну призму. Поверхня має фронтальну площину симетрії. Найдовша твірна – нульова, найкоротша – шоста, по ній і зроблений розріз поверхні. Розгортка – фіґура симетрична відносно нульової твірної. Дійсну величину половини нормального перерізу поверхні площиною Σ побудовано на площині П₄ – еліпс. Розгортають дугу напівеліпса в пряму 0–6 за допомогою хорд 0₄–1₄, ... 5₄–6₄, що замінюють криві ділянки еліпса. У точках 0, 1, ... 6 на розгортці будують перпендикуляри, на яких відкладають дійсну довжину ділянок, твірних поверхні (до нормального перерізу і після нього), виміряну на площині П₂. Кінці відрізків з'єднуємо плавними кривими, що є розгорткою основ поверхні. За допомогою сьомої твірної на розгортці нанесено точку М поверхні.

Побудова розгорток призматичних і циліндричних поверхонь значно спрощується, якщо вони зображені простими прямими фігурами. Для прикладу на рис. 6.13 наведено розгортку тригранної призми правильної форми. Розгортку її будуємо, скориставшись тим, що ребра її АА¢, ВВ¢, СС¢ паралельні фронтальній площині проекцій і проеціююється на неї в натуральну величину, а нижня ABC і верхня А'В'С' основи паралельні горизонтальній площині проекцій і проеціююється на неї в натуральну величину. Точку М на розгортці тригранної призми будують звичайним способом.

Рисунок 6.13

На рис. 6.14 наведено приклад побудови розгортки прямого колового циліндра. Її висота Н на фронтальну площину проекцій проеціююється в натуральну величину, а нижня і верхня основи паралельні горизонтальній площині проекцій і на неї проеціюються в натуральну величину. У цьому випадку розгортку циліндричної поверхні будуємо за допомогою хорд, що з'єднують сусідні точки розподілу кіл основ, у який вписаний правильний дванадцятикутник. У цьому випадку циліндричну поверхню умовно замінено поверхнею вписаної правильної дванадцятиграної призми, і розгортку циліндричної поверхні побудовано способом нормального перерізу. Положення точки М на розгортці циліндричної поверхні визначається звичайним способом.

Рисунок 6.14

Питання і завдання для самоперевірки

1. Які ви знаєте способи побудови дійсної величини фіґури перерізу поверхні площиною загального положення?

2. Що називається розгорткою поверхні?

3. Які поверхні належать до поверхонь, що нерозгортаються?

4. Чи можна побудувати розгортку поверхні, що нерозгортається?

5. Яким способом будують розгортки пірамідальних (конічних) поверхонь?

6. Яким способом будують розгортки призматичних (циліндричних) поверхонь?

7. Як нанести на розгортку поверхні точки, що їй належать?

Задача 9. Побудувати дві проекціі геометричного тіла зрізаного площиною загального положення, заданої двома прямими KM I KN, що перетинаються. Побудувати дійсну величину (площу) фігури перерізу і розгортку поверхні усіченого геометричного тіла. Варіанти завдань взяти з таблиці 9. Приклад виконання подано на рис. 6.15.

Таблиця 9

Рисунок 6.15

Задача 10. Побудувати три проекціі геометричного тіла зрізаного проеціюючою площиною, дійсну величину (площу) фігури перерізу і повну розгортку поверхні усіченого геометричного тіла. Варіанти завдань узяти з таблиці 10. Приклад виконання подано на рис. 6.16.

Таблиця 10

Рисунок 6.16