Временные параметры событий и работ

– ранний срок свершения j-го события (ранний момент, к которому свершаются все работы, предшествующие этому событию), - множество работ, заканчивающихся j-м событием; – продолжительность работы .

– поздний срок свершения i-го события – такой предельный момент, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для выполнения всех работ, следующих за этим событием, где - множество работ, которые выходят из i-го события.

Предполагается, что , здесь 1 – это исходное событие, S – завершающее событие, (длина критического пути).

Резерв времени события i показывает, на какой предельно допустимый срок может задержаться свершение события i без нарушения срока наступления завершающего события. Он находится по формуле .

Ранний срок начала работы : .

Ранний срок окончания работы : .

Поздний срок окончания работы : .

Поздний срок начала работы : .

Полный резерв времени работы – максимальный запас времени, на который можно задержать начало работы или увеличить ее продолжительность при условии, что весь комплекс работ будет завершен в критический срок.

.

Свободный резерв времени работ – максимальный запас времени, на который можно отсрочить начало работы или (если она началась в свой ранний срок) увеличить ее продолжительность при условии, что не нарушится ранний срок начала всех последующих работ.

.

Свободный резерв времени может быть использован на увеличение продолжительности данной и предшествующих работ.

Частный резерв времени первого порядка работы – часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события.

.

Независимый резерв времени работы – часть полного резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки.

.

Независимый резерв времени может быть использован для увеличения продолжительности только данной работы. Если , то в этом случае никакого практического смысла независимый резерв времени не имеет.

Работы, лежащие на критическом пути, так же как и критические события, резервов времени не имеют.

Построим сетевые графики со следующими данными:

I) а₁-

а₂-

а₃-

а₄- а₁,

а₅- а₂,

а₆- а₂,

а₇- а₃, а₅,

а₈- а₄, а₆, а₇.

II) а₁-

а₂-

а₃-

а₄- а₁, а₂,

а₅- а_2, а₃,

а₆- а_2, а₃,

а₇- а₆,

а₈- а₄, а₅, а₇.

I)

II)

Здесь введено фиктивное событие 4 и две фиктивные работы (4,2) и (4,3) для того, что бы работы а₁, а₂, а₃ имели разные наименования.

Пример.

Дана сетевая модель. Построим предварительный сетевой график комплекса работ в терминах событий. Методом Фалкерсона произведём упорядоченную нумерацию событий. Вычислим ранние и поздние сроки свершения событий. Найдем критический путь и его длину. Вычислим моменты раннего и позднего начала и окончания работ, полный и свободный резерв времени работ. Построим линейную карту сети по ранним и поздним срокам свершения событий.

Работы	Время их выполнения
а1 – а2 – а3 – а4 – а1, а5 – а1, а6 – а3, а7 – а3, а8 – а2, а5, а9 – а2, а5, а10 – а4, а11 – а6, а12 – а6, а7, а13 – а8, а14 – а10, а13, а15 – а9, а16 – а11, а12

Строим сетевой график. В скобках указаны продолжительности работ.

Методом Фалкерсона произведём упорядоченную нумерацию событий. События, которые свершаются позднее, должны располагаться правее событий, которые свершаются ранее. В I-ом слое находится начальное (исходное) событие А₁. Вычеркнем все работы, выходящие из события А₁. Без входящих стрелок остаются события А₂, А₃. Эти события находятся во 2-ом слое. Начинаются эти события позднее события А₁. Вычеркнем работы, выходящие из событий А₂, А₃. Без входящих стрелок остаются события А₄, А₅, А₆. Они располагаются в III слое. В IV слое находятся события А₇, А₈, А₉, в V – А₉, А₁₁, в VI – А₁₂. Начинается событие А₁₀ раньше, чем начинается событие А₉. Поэтому мы переименуем эти события, а значит, будем переименовывать и работы. Была работа (8, 9), а стала она называться (8, 10). Работа (5, 9) сменила название на (5, 10). Работа (4, 10) называется теперь (4, 9). В упорядоченном сетевом графике работы - стрелки направлены всегда слева направо.

Ниже нарисован упорядоченный сетевой график. Найдем сроки свершения событий и критический путь, используя те формулы, которые были указаны ранее.

Весь комплекс работ можно выполнить за 76 суток. Критические события 1-2-4-8-10-12. Критические работы: (1,2); (2,4); (4,8); (8,10); (10,12).

Вычислим моменты раннего и позднего начала и окончания работ, полный и свободный резерв времени работ по ранее указанным формулам.

Линейная диаграмма по ранним срокам свершения событий

Линейная диаграмма по поздним срокам свершения событий

После нахождения критического пути и резервов времени работ должен быть проведён анализ сетевого графика и приняты меры по его оптимизации. Следует отметить, что величина полного резерва времени далеко не всегда может характеризовать, насколько напряженным является выполнение работы некритического пути. Определить степень трудности выполнения в срок работ некритического пути можно с помощью коэффициента напряженности работ .

Коэффициент напряженности изменяется в пределах от 0 до 1. Коэффициент напряженности равен 0 для работ, у которых отрезки максимального из путей, не совпадающие с критическим путём, состоят из фиктивных работ нулевой продолжительности. Коэффициент напряженности работ критического пути равен 1 (работы (1,2), (2,4), (4,8), (8,10), (9,12) – критические, поэтому коэффициенты напряженности этих работ равны 1), все остальные коэффициенты напряженности вычислим по формуле:

,

где t(L_max) – продолжительность максимального пути, проходящего через работу ;

– длина критического пути;

– продолжительность отрезка рассматриваемого пути, совпадающего с критическим путём.

Например, коэффициент напряженности работы (2,5) находится по данной формуле

;

(1,3)=0,5; (1,4)=0,625; (2,5)=0,3261; (3,6)=0,5;

(6,7)=0,3947; (5,10)= 0,3261; (4,9)=0,25; (3,7)= 0,4737;

(6,11)=0,5; (7,11)=0,4737; (11,12)=0,5; (9,12)=0,25.

Коэффициенты напряженности позволяет классифицировать работы по зонам.

Выделяют 3 зоны.

1. Критическая ( ).

2. Подкритическая ( ).

3. Резервная ( ).

Работы (2,5); (1,3); (1,4); (2,5); (3,6); (6,7); (5,10); (4,9); (3,7); (6,11); (7,11); (9,12); (11,12) попадают в резервную зону. Эти работы ведутся примерно с одинаковой напряженностью. Чем ближе к единице коэффициент напряженности, тем сложнее выполнить работу в установленные сроки.

Для оптимизации сетевого графика принимаются меры по сокращению продолжительности работ, находящихся на критическом пути. Для этого:

1. Переводят часть исполнителей, часть оборудования с некритического пути на работы критического пути. При этом перераспределение ресурсов должно идти из зон, менее напряженных, в зоны, объединяющие наиболее напряженные работы.

2. Сокращают трудоемкость критических работ за счет передачи части работ на другие пути, имеющие резервы времени.

3. Некоторые работы критического пути стараются выполнять параллельно.

4. Пересматривают топологию сети, изменяют состав работ и структуру сети.

В процессе этих мер продолжительность критического пути может измениться и в дальнейшем процесс оптимизации будет направлен на сокращение продолжительности работ нового критического пути. И так будет продолжаться до получения удовлетворительного результата.

В идеале длина любого из полных путей может стать равной длине критического пути. Тогда все работы будут вестись с равным напряжением, а срок завершения проекта существенно сократится.

Сетевое планирование в условиях неопределенности

При определении временных параметров сетевого графика до сих пор предполагалось, что время выполнения каждой работы точно известно. Такое предположение в действительности выполняется редко: напомним, система СПУ (система методов планирования и управления комплексов работ) обычно применяется для планирования сложных разработок, не имевших в прошлом никаких аналогов. Чаще всего продолжительность работы по сетевому графику заранее не известна и может принимать лишь одно из ряда возможных значений.

Анализ большого количества статистических данных (хронометражи времени реализации отдельных работ, нормативные данные и т.д.) показывает, что β-распределение можно использовать в качестве априорного распределения продолжительности для всех работ.

Для определения числовых характеристик , и этого распределения для работы на основании опроса ответственных исполнителей проекта и экспертов определяют три временные оценки:

a) оптимистическую оценку , т.е. продолжительность работы при самых благоприятных условиях;

b) пессимистическую оценку , т.е. продолжительность работы при самых неблагоприятных условиях;

c) наиболее вероятную оценку , т.е. продолжительность работы при нормальных условиях.

Предположение о β–распределении продолжительности работы позволяет получить следующие оценки ее числовых характеристик: среднее время выполнения (математическое ожидание) и дисперсию :

;

.

Следует отметить, что обычно специалистам сложно оценить наиболее вероятное время выполнения работы . Поэтому в реальных проектах используется упрощенная (и менее точная) оценка средней продолжительности работы на основании лишь двух задаваемых временных оценок и :

.

Зная и , можно определять временные параметры сетевого графика и оценивать их надежность.

Так, при достаточно большом количестве работ, принадлежащих пути L, и выполнении некоторых весьма общих условий можно применить центральную предельную теорему Ляпунова. На основании этой теоремы можно утверждать, что общая продолжительность пути L имеет нормальный закон распределения со средним значением , равным сумме средних значений продолжительности составляющих его работ и дисперсией , которая в свою очередь равна сумме составляющих дисперсий :

;

.

Временные параметры сетевого графика – длина критического пути, ранние и поздние сроки свершения событий, резервы времени событий и работ и т.д. – будут являться средними значениями соответствующих случайных величин: средней длиной критического пути , средним значением раннего срока наступления события , средним значением полного резерва времени работы и т.п.

Поэтому предварительный анализ сетей со случайными продолжительностями работ, как правило, не ограничивается расчетами временных параметров сети. Весьма важным моментом анализа становится оценка вероятности того, что срок выполнения проекта не превзойдет заданного директивного срока T.

Полагая случайной величиной, имеющей нормальный закон распределения, получим

_,

где – значение функции Лапласа, где ; – среднее квадратическое отклонение длины критического пути:

Если мала (например, меньше 0,3), то опасность срыва заданного срока выполнения комплекса велика, необходимо принятие дополнительных мер. Если значительна (например, более 0,8), то, очевидно, с достаточной степенью надежности можно прогнозировать выполнение проекта в установленный срок.

Пример

Построить сетевую модель и произвести расчёты её временных параметров.

а₁ –

а₂ –

а₃ –

а₄ – а₃,

а₅ – а₂,

а₆ – а₁,

а₇ – а_4, а₅,

а₈ – а₁,

а₉ – а₆, а₇,

а₁₀ – а₈,

а₁₁ – а₄, а₅,

а₁₂ – а₉, а₁₀.