Примеры решения задач. Задача 2.1. Кинетическая энергия протона в 4 раза меньше его энергии покоя (E0=m0c2=1,5·10-10 Дж)

Задача 2.1. Кинетическая энергия протона в 4 раза меньше его энергии покоя (E₀=m₀c²=1,5·10^-10 Дж). Вычислить длину волны де-Бройля.

Решение.

Поскольку по условию задачи кинетическая энергия сравнима с его энергией покоя, то импульс p и кинетическая энергия связаны соотношением

.

С учетом условия задачи E_k=E₀/4 получим

и,

следовательно,

.

Подставляя числовые значения, получим

(м).

Ответ: 1,77·10^-15 м.

Задача 2.2. Определить длину волны де-Бройля электронов, обладающих кинетической энергией: 1) 100 эВ; 2) 0,5 МэВ.

Решение.

Как видно из формулы 2.1, определение де-Бройлеровской длины волны сводится к нахождению импульса (mυ) частицы. Решение задачи зависит от того, является ли электрон классической или релятивистской частицей.

1) В этом случае E_k=m₀c², поэтому длину волны де-Бройля следует определять по формуле 2.3.

(м) = 1,4 пм.

2) Так как E_k<<m₀c², где m₀c²=0,51 МэВ – энергия покоя электрона, то в данном случае электрон является классической частицей, следовательно, его импульс и кинетическая энергия связаны соотношением 2.2, тогда длина волны де-Бройля равна

(м) = 123 пм.

Ответ: λ₁= 1,4 пм, λ₂= 123 пм.

Задача 2.3. Определить длину волны де-Бройля электронов при соударении с которыми в серии Пашена спектра излучения атома водорода появились две линии.

Решение.

Как видно из рисунка, чтобы в серии Пашена появились две линии, атом водорода должен быть возбужден до пятого уровня, т.е. минимальная энергия, которую получил атом водорода, равна ΔЕ = Е₅ - Е₁. Эту энергию атому передали электроны, де-Бройлевскую длину волны которых надо определить.

Следовательно,

,

откуда

и длина волны де-Бройля (2.1)

Учитывая, что hcR = 13,6 (эВ) = 13,6·1,6·10^-19 (Дж), получим

(м).

Ответ: λ=3,4·10^-10 м.

Задача 2.4. Параллельный пучок электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью шириной 2 мкм. Определить скорость электронов (считая ее одинаковой для всех частиц), если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии 50 см, ширина центрального дифракционного максимума равна 80 мкм.

Решение.

Дифракция электронов является следствием волновой природы частиц. Поэтому для определения скорости электронов применим формулу де-Бройля (2.1), откуда

.

Чтобы найти длину волны λ, воспользуемся тем обстоятельством, что дифракционная картина, возникающая при прохождении через узкую щель параллельного пучка электронов, вполне соответствует дифракционной картине, полученной от этой же щели при освещении пучком монохроматического света, длина волны которого равна длине волны де-Бройля. Это значит, что в случае дифракции электронов положение дифракционных максимумов и минимумов можно определять по формулам для длины волны света.

На рисунке изображена кривая распределения интенсивности на экране, расположенном на расстоянии ℓ от щели, ширина которой а.

Центральный максимум заключен между двумя минимумами первого порядка. Ширина центрального максимума b. φ – угол дифракции, соответствующий первому минимуму. Условие, определяющее положение дифракционных минимумов

a·sinφ=kλ, (в нашем случае k=1).

Откуда sinφ=λ/а.

Из рисунка видно, что .

Угол дифракции, соответствующий первому минимуму, мал, поэтому tgφ≈sinφ

,

откуда

и скорость электронов определяется по формуле

(м/с).

Ответ: υ=4,5·10⁶ м/с.

Задача 2.5. Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужденном атоме водорода 13,6 эВ. Исходя из соотношения неопределенностей, оценить наименьшую неточность, с которой можно вычислить координату электрона в атоме.

Решение.

Как следует из соотношения неопределенностей (2.4), неточность координаты частицы

(1)

Рассматривая электрон как нерелятивистскую частицу (так как 13,6 эВ<<m₀c²) получим для импульса электрона

(2)

Сравним величины Δp_x и p. Импульс p – векторная величина и направление его неизвестно. Поэтому проекция p_x импульса на какую-либо ось x оказывается неопределенной: ее величина лежит в интервале (-p, p), т.е. неопределенность проекции импульса на ось x равна

Δp_x=2p или Δp_x~ p

И наименьшая неточность координаты будет соответствовать Δp_x=p. С учетом сказанного и в соответствии с (2) имеем

(м).

Как видно из расчета, Δx равен радиусу первой боровской орбиты (r). Отсюда следует, что боровскую орбиту нельзя представлять как траекторию, по которой движется электрон, т.к. он может оказаться в любом месте атома, находящегося в определенном (в данном случае – не возбужденном) состоянии, а не только на расстоянии r от ядра. r – это наиболее вероятное расстояние, на котором можно встретить электрон в атоме.

Ответ: 0,53·10^-10 (м).

Задача 2.6. Электрон с кинетической энергией E_k=10 эВ находится в металлической пылинке диаметром d=1 мкм. Оценить в процентах относительную неопределенность скорости электрона.

Решение.

Относительная неопределенность скорости и импульса связаны соотношением

.

Неопределенность импульса можно оценить из соотношения неопределенности, а именно

.

Поскольку в данном случае E_k<<m₀c², то величина импульса электрона определяется выражением

.

Таким образом

.

Ответ: 0,0062 %.

Задача 2.7. Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, оценить естественную ширину Δλ спектральной линии атома водорода, соответствующей длинноволновой границе серии Пашена.

Решение.

В данном случае необходимо применить соотношение неопределенностей для энергии и времени (2.5). Так как энергия излучаемого фотона E=hν или E=h , то разброс в значениях длин волн Δλ (ширина спектральной линии) является следствием разброса (неопределенности) в энергии излучаемых фотонов (ΔE). В свою очередь, ΔEсвязана с неопределенностью энергии атома (ΔЕ), т.е. шириной энергетического уровня, которую можно определить из соотношения (2.5):

,

где Δτ – среднее время жизни возбужденного состояния атома, равное 10^-8 с.

Продифференцировав соотношение E = , получим

ΔE= ,

откуда (1).

По условию задачи λ соответствует длинноволновой границе серии Пашена. Применяя сериальную формулу (1.3) (n=3, m=4), получим

,

откуда (нм).

Подставляем полученное значение λ в (1)

(м) = 18,7 пм.

Ответ: Δλ=18,7 пм.