Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Математическая формулировка




Читайте также:
  1. Головоломка. Ханойская башня - математическая игра на развитие логического мышления
  2. Лабораторная работа №1: Измерение физических величин и математическая обработка результатов измерений
  3. Логическая проблема индукции: переформулировка и решение
  4. Математическая модель задачи
  5. Математическая обработка данных, моделирование и формализация в среде табличного процессора Microsoft Excel
  6. Математическая статистика
  7. Общая формулировка задания
  8. Переформулировка психологической проблемы индукции
  9. Примерная формулировка диагноза

Математика и магия чисел

«20% товаров дают 80% прибыли» – очень яркая, запоминающаяся формулировка. 20% товаров дают 100%–20%=80% прибыли. Соответственно оставшиеся 100%–20%=80% товаров дают 100%–80%=20% прибыли. Замечательная кососимметричность! Именно она сделала этот принцип столь знаменитым.

Чтобы разобраться в природе принципа Парето, рассмотрим его математический смысл.

Математическая формулировка

Есть список объектов или видов объектов (товаров) T1, T2... Tn и есть некоторый измеримый результат (прибыль), который является аддитивной функцией от объектов (общая прибыль является суммой прибылей от всех товаров), R(T1,T2...Tn)=R(T1)+R(T2)+…R(Tn). Так вот, принцип Парето гласит:

(1) Существует такое число 0<a<0,5, что объекты можно разбить на две группы M1 и M2 так, что численность группы M1 будет равна a*n, а результат R(M1)=(1–a)*R(M1,M2), т.е. 1-a от общего результата всех объектов,

(2) и при этом a=0,2 (20%).

В такой формулировке видно, что принцип Парето распадается на две части – наличие точки кососимметричности a (точки Парето), и утверждения о значении этой точки a=0,2. Докажем сначала первую часть – что точка Парето существует.

Рассмотрим гистограмму результатов по объектам, предварительно упорядочив по убыванию результата. А теперь построим гистограмму накопленного результата и приблизим ее непрерывным графиком.

В дальнейших рассуждениях мы будем рассматривать непрерывный график результата, т.е. считаем, что объектов у нас очень много (пример – население страны, несколько тысяч товаров супермаркета). Итак, y=f(x) – график результата, линия красного цвета. График построен в безразмерных единицах – 1 по оси абсцисс соответствует полная совокупность объектов, 100% от их количества; 1 по оси ординат соответствует суммарный результат от полного набора объектов. Где же должна лежать точка Парето? – На прямой y=1–x, именно это равенство выражает искомую кососимметричность, толстая прямая синего цвета.

Их пересечение дает искомую точку Парето, точку a, такую, что f(a)=1–a. График y=f(x) строго возрастает, более того – это выпуклая функция (вспоминаем, что объекты мы упорядочивали по убыванию результата, т.е. производная убывает). Отсюда следует, что график функции результата всегда лежит выше прямой y=x (зеленая прямая) и совпадает с ней в одном случае – когда все объекты имеют одинаковый результат, равномерное распределение. Тем самым мы доказали, что искомая точка Парето всегда существует, ее значение меньше 0,5 и равно ему в единственном случае – равномерного распределения результата по объектам.



Из этого графика видно, как мы можем итерационно продолжить Парето-анализ. Если мы рассмотрим ограничение функции на интервале (0, a), то можем построить точку Парето второго порядка (тот же красный график и тонкая синяя прямая; точка Парето-2 показана пунктиром). Аналогично можем поступить на интервале (a, 1) и так далее.


Дата добавления: 2015-09-13; просмотров: 6; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты