Изгиб балок

Рис. 1.11.

Балка, т.е. стержень, испытывающий изгиб, деформируется таким образом, что первоначально прямая ось балки О₁О₂ становится криволинейной; эта ось называется упругой линией (рис. 1.11). Рассмотрим изгиб балки под действием внешней силы F, пренебрегая ее весом. Все волокна, лежащие ниже этой линии, удлиняются (в них возникают растягивающие напряжения), а волокна, лежащие выше этой линии, сжимаются (в них возникают сжимающие напряжения). Между растянутыми волокнами находится нейтральный слой. При этом два, первоначально параллельные сечения и находящиеся на расстоянии dx друг от друга, при изгибе образуют некоторый угол . Для удобства описания распределения деформации и напряжений свяжем со стержнем систему координат с началом в некоторой точке О упругой линии О₁О₂ и осями x и y, направленными вдоль упругой линии и в поперечном сечении соответственно (см. рис. 1.11). Легко видеть, что деформации в некотором сечении x=const линейно нарастают вдоль оси y от до . Это дает основание в соответствии с законом Гука записать распределение напряжений в виде

(1.30)

где k - неизвестный коэффициент пропорциональности, меняющийся, вообще говоря, от сечения к сечению. Распределение напряжений (1.30) в произвольном сечении стержня удобно изобразить графически, если в каждой точке сечения восстановить перпендикулярный к нему вектор, мысленно равный силе, действующей на площадку dS: (рис.1.12а), т.е. .

Рис. 1.12.

Рассмотрим равновесие части балки, расположенной слева от сечения. Начало координат поместим в сечение, вдоль которого действует сила реакции опоры.
Предположим, что балка имеет вертикальную плоскость симметрии, как это изображено на рис. 1.12 б, и внешние силы лежат в этой плоскости. Нейтральный слой пересекает сечение балки по прямой n₁n₂. Для равновесия этого куска балки необходимо, чтобы выполнялись следующие известные из статики условия. Во-первых сумма всех горизонтальных сил должна быть равна нулю, т.е.

(1.31)

Поскольку интеграл (1.31) вычисляется в поперечном сечении балки, то понятно, что нейтральная ось n₁n₂, на которой лежит начало координат, должна проходить через центр масс поперечного сечения балки.
Во-вторых, сумма всех вертикальных сил может быть равна нулю, если в сечении, кроме изображенных нормальных напряжений, будут действовать и касательные напряжения , чтобы скомпенсировать силу реакции опоры N, т.е.

(1.32)

В большинстве случаев касательные напряжения при изгибе малы по сравнению с нормальными и при расчете балки на прочность не учитываются.
В третьих, сумма моментов всех сил относительно любой точки должна быть равна нулю. Если в качестве такой точки выбрать центр масс рассматриваемого сечения, то это условие запишется в виде.

(1.33)

Если подставить сюда распределение напряжений (1.30), где коэффициент пропорциональности (y₂ - расстояние между нейтральным слоем и наиболее растянутым нижним волокном), то мы приходим к условию

(1.34)

где

(1.35)

момент инерции поперечного сечения относительно центральной оси n₁n₂, M(x)=N*x - момент силы реакции.
Отношение J/y₂ зависит от размеров и формы сечения и называется осевым моментом сопротивления:

(1.36)

а уравнения (1.34) можно представить в виде

(1.37)

Рис. 1.13.

Для расчета прочности балок необходимо знать распределение напряжений , возникающих при известных моментах внешних сил, что может быть получено из (1.34) в виде

(1.38)

Моменты инерции поперечных сечений (прямоугольного и кругового) равны

(1.39)

а соответствующие им осевые моменты сопротивления -

(1.40)

Из (1.37) следует, что прочность балок возрастает при увеличении осевого момента сопротивления, причем, как следует из (1.40), прочность балки прямоугольного сечения достигается эффективнее за счет увеличения ее высоты h.
Полученные результаты позволяют рассчитать направление осевой линии балки. Элементарный угол , на который повернулись сечения x и x+dx, очевидно, связан с двумя деформациями и крайних волокон соотношением

(1.41)

где y₂-y₁- расстояние между крайними волокнами. Подставляя в (1.41) напряжение (1.38), получим

(1.42)

В частности, легко рассчитать изгиб невесомой горизонтальной балки, выступающей из стены (консольной балки) на расстояние , к концу которой приложена вертикальная сила F(рис.1.14). Как следует из (1.42), в произвольном сечении x

(1.43)

Рис. 1.14.

Если ось балки в каждом сечении сместилась вниз на расстояние u(x), то, очевидно, угол наклона оси балки к горизонтальной оси в сечении x

(1.44а)

В сечении x+dx угол наклона несколько больше:

(1.44б)

Приращение этого угла

(1.45)

Приравнивая правые части (1.45) и (1.43), получаем уравнение:

(1.46)

Интегрируя два раза при условии, что u(0)=0 (конец закреплен), получаем искомое искривление балки в виде

(1.47)

В частности, смещение конца балки под действием силы F, называемое стрелой прогибы, оказывается равным

(1.48)

Если балка имеет прямоугольное сечение, то ее стрела прогиба очень быстро уменьшается по мере увеличения высоты балки h, поскольку .
Для экономии материала иногда используют пустотелые балки. Такая балка значительно легче цельной, а ее осевой момент сопротивления (см. 1.36) остается достаточно большим. Для повышения жесткости используют конструкции, называемые фермами (рис. 1.15). Фермы - это достаточно легкие ажурные конструкции, высота которых, в сильной степени определяющая момент сопротивления, может достигать десятков метров.

Рис. 1.15.

Фермы - это достаточно легкие ажурные конструкции, высота которых, в сильной степени определяющая момент сопротивления, может достигать десятков метров. В качестве примера на рис. 1.16 показана типичная конструкция подвесного моста. Необходимая жесткость такого моста обеспечивается фермами, состоящими из жестких элементов и тросов. Рекордную длину 3910 метров имеет мост, соединяющий два острова в Японии. Длина его центрального пролета L составляет 1990 метров при высоте опор Н = 297 метров.

Рис. 1.16.