КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Устойчивость упругого равновесия
Зная упругие свойства тел, мы всегда можем рассчитать деформации под действием заданных сил. Такие расчеты проводятся в курсе теоретической физики, Их основная идея сводится к следующему.
| Рис. 1.19.
| Под действием внешних сил в теле создаются напряжения. Эти напряжения действуют на элементарный объем через поверхности, его ограничивающие. На рис. 1.19 изображена одна нормальная f11 и две тангенциальные силы f21 и f31, действующие на заштрихованную грань кубика. Модули этих сил равны
| (1.56)
| Здесь индексы указывают на то, что силы приложены к площадке, перпендикулярной x1 и действуют в направлении оси x1 ( - нормальное напряжение) и осей x2 и x3 ( - соответствующие тангенциальные напряжения) Аналогично, но с другими индексами, записываются модули сил, приложенных к площадкам dS2 и dS3. Полная сила, действующая на выделенный объем, зависит как от ориентации площадок, ограничивающих этот объем, так и от внутренних напряжений в той области, где находится рассматриваемый объем. Эти напряжения описываются совокупностью девяти величин (i, k=1,2,3), которые составляют тензор напряжений. В упругих телах деформации пропорциональны соответствующим напряжениям. Таким образом, сложные деформации упругих тел описываются системой линейных дифференциальных уравнений, связывающих компоненты тензора деформаций и тензора напряжений. Материальные свойства сред представлены, как правило, коэффициентом Пуассона (1.4) и модулем всестороннего сжатия k (1.29). Анализ такой системы уравнений позволяет не только рассчитать деформацию тел, но и ответить на вопрос, устойчивы ли эти деформации или нет.
| Рис. 1.20.
| В качестве примера рассмотрим задачу о потере устойчивости стержня при его продольном сжатии силой F (рис. 1.20). При малых сжимающих силах сжатия стойка находится в устойчивом равновесии, т.к., испытав малое случайное отклонение от вертикали, стойка, тем не менее, возвращается в вертикальное положение. С увеличением нагрузки случайные отклонения исчезают все медленнее со временем. При F=Fкр наступает состояние безразличного равновесия: прямолинейная форма теряет устойчивость, а устойчивым уже будет изогнутое состояние стержня (пунктир на рис. 1.20 б). Такое раздвоение равновесия, характеризующегося двумя его формами, называется бифуркацией. Новая криволинейная форма равновесия при F>Fкр хотя и устойчива, однако такая деформация мало приемлема, поскольку в стойке возникают недопустимо большие изгибы и напряжения. Задача о выпучивании стержня при продольном сжатии была решена в XVIII веке выдающимся математиком Леонардом Эйлером. Рассчитаем, следуя Эйлеру, значение критической силы Fкр и форму изогнутого стержня, когда последний шарнирно закреплен за оба конца (рис. 1.21).
| Рис. 1.21.
| Форма изогнутого стержня u(x) может быть получена из уравнения (1.46), в котором вместо момента поперечной силы для произвольного сечения x=const, отмеченного пунктиром, следует записать момент сдавливающей силы в виде M=Fu. Тогда уравнение (1.46) примет вид:
| (1.57)
| Если обозначить и обратить внимание, что уравнение (1.57) аналогично уравнению гармонических колебаний, то его решение записывается сразу в виде
| (1.58)
| Из граничного условия u(0)=0 следует, что . Из другого граничного условия следует
| (1.59)
| Каждому значению qn соответствует своя конфигурация изогнутого стержня, представляющая собой синусоиду, имеющую n полуволн. Эти конфигурации возникают при соответствующих значениях сил, равных
| (1.60)
| При n=1 формула (1.60) дает значение критической силы
| (1.61)
| Последняя формула была получена Эйлером и носит его имя. Другие направленные формы равновесия (n=2, 3...) являются неустойчивыми, однако они могут быть реализованы, если стержень дополнительно закрепить шарнирными опорами в сечениях, где u=0 (рис.1.21в). Полученный результат имеет большое практическое значение. В силу неустойчивости стержней при их сжатии, толкающие рычаги и штоки в машинах делают по возможности короче и большого сечения, в то время как тянущие штоки, имеющие большой запас прочности на разрыв, могут быть и не очень толстыми. По аналогии легко понять, что герметичные емкости, испытывающие нагрузку на разрыв (например, паровые котлы) делают более тонкостенными, чем емкости, подверженные сжатию (оболочки батискафов, подводных лодок и пр.)
|