Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Устойчивость упругого равновесия

Читайте также:
  1. Беглый взгляд на установление равновесия
  2. В) устойчивостью
  3. Выведение из равновесия
  4. Динамическая устойчивость
  5. Зависимость константы равновесия от температуры
  6. Задание 36. Определите финансовую устойчивость предприятия по абсолютным показателям.
  7. земля ЖИЗНЕННОСТЬ Устойчивость
  8. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРУГОГО СОУДАРЕНИЯ ШАРОВ
  9. Как только наполнена одна из емкостей, нужно приступить к заполнению следующей, чтобы не лишиться внутреннего равновесия.
  10. Кейнсианская теория макроэкономического равновесия

Зная упругие свойства тел, мы всегда можем рассчитать деформации под действием заданных сил. Такие расчеты проводятся в курсе теоретической физики, Их основная идея сводится к следующему.

Рис. 1.19.


Под действием внешних сил в теле создаются напряжения. Эти напряжения действуют на элементарный объем через поверхности, его ограничивающие. На рис. 1.19 изображена одна нормальная f11 и две тангенциальные силы f21 и f31, действующие на заштрихованную грань кубика. Модули этих сил равны

(1.56)


Здесь индексы указывают на то, что силы приложены к площадке, перпендикулярной x1 и действуют в направлении оси x1 ( - нормальное напряжение) и осей x2 и x3 ( - соответствующие тангенциальные напряжения)
Аналогично, но с другими индексами, записываются модули сил, приложенных к площадкам dS2 и dS3. Полная сила, действующая на выделенный объем, зависит как от ориентации площадок, ограничивающих этот объем, так и от внутренних напряжений в той области, где находится рассматриваемый объем. Эти напряжения описываются совокупностью девяти величин (i, k=1,2,3), которые составляют тензор напряжений. В упругих телах деформации пропорциональны соответствующим напряжениям. Таким образом, сложные деформации упругих тел описываются системой линейных дифференциальных уравнений, связывающих компоненты тензора деформаций и тензора напряжений. Материальные свойства сред представлены, как правило, коэффициентом Пуассона (1.4) и модулем всестороннего сжатия k (1.29). Анализ такой системы уравнений позволяет не только рассчитать деформацию тел, но и ответить на вопрос, устойчивы ли эти деформации или нет.

Рис. 1.20.


В качестве примера рассмотрим задачу о потере устойчивости стержня при его продольном сжатии силой F (рис. 1.20). При малых сжимающих силах сжатия стойка находится в устойчивом равновесии, т.к., испытав малое случайное отклонение от вертикали, стойка, тем не менее, возвращается в вертикальное положение. С увеличением нагрузки случайные отклонения исчезают все медленнее со временем. При F=Fкр наступает состояние безразличного равновесия: прямолинейная форма теряет устойчивость, а устойчивым уже будет изогнутое состояние стержня (пунктир на рис. 1.20 б). Такое раздвоение равновесия, характеризующегося двумя его формами, называется бифуркацией. Новая криволинейная форма равновесия при F>Fкр хотя и устойчива, однако такая деформация мало приемлема, поскольку в стойке возникают недопустимо большие изгибы и напряжения.
Задача о выпучивании стержня при продольном сжатии была решена в XVIII веке выдающимся математиком Леонардом Эйлером. Рассчитаем, следуя Эйлеру, значение критической силы Fкр и форму изогнутого стержня, когда последний шарнирно закреплен за оба конца (рис. 1.21).



Рис. 1.21.


Форма изогнутого стержня u(x) может быть получена из уравнения (1.46), в котором вместо момента поперечной силы для произвольного сечения x=const, отмеченного пунктиром, следует записать момент сдавливающей силы в виде M=Fu. Тогда уравнение (1.46) примет вид:

(1.57)


Если обозначить и обратить внимание, что уравнение (1.57) аналогично уравнению гармонических колебаний, то его решение записывается сразу в виде

(1.58)


Из граничного условия u(0)=0 следует, что . Из другого граничного условия следует

(1.59)


Каждому значению qn соответствует своя конфигурация изогнутого стержня, представляющая собой синусоиду, имеющую n полуволн. Эти конфигурации возникают при соответствующих значениях сил, равных



(1.60)


При n=1 формула (1.60) дает значение критической силы

(1.61)


Последняя формула была получена Эйлером и носит его имя.
Другие направленные формы равновесия (n=2, 3...) являются неустойчивыми, однако они могут быть реализованы, если стержень дополнительно закрепить шарнирными опорами в сечениях, где u=0 (рис.1.21в).
Полученный результат имеет большое практическое значение. В силу неустойчивости стержней при их сжатии, толкающие рычаги и штоки в машинах делают по возможности короче и большого сечения, в то время как тянущие штоки, имеющие большой запас прочности на разрыв, могут быть и не очень толстыми. По аналогии легко понять, что герметичные емкости, испытывающие нагрузку на разрыв (например, паровые котлы) делают более тонкостенными, чем емкости, подверженные сжатию (оболочки батискафов, подводных лодок и пр.)


Дата добавления: 2015-09-13; просмотров: 13; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Кручение валов | Энергия упругих деформаций
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2019 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты