МИХЕЛЬС

(επιστήμη). В «Государстве» (476е—480а) Платон рас­сматривает понятие «докса» в ряду гносеологическо-онтологич. соответствий. Истинному знанию на онто-логич. уровне соответствует истинное бытие (эйдос), незнанию — небытие; докса занимает промежуточ­ное положение между знанием инезнанием, поэтому на онтологич. уровне ей соответствует промежуточ­ная сфера между бытием и небытием — чувств. мир (αίσίίητά). Уточняющее резюме дано в диаграмме в «Государстве» (509е—511е): линия делится на два не­равных отрезка — область зримого (объект доксы) и область умопостигаемого (объект эпистеме); каждый из отрезков в свою очередь подразделяется в той же пропорции: мир бытия-знания — на сферу, постигае­мую интуитивным (νόησις) и дискурсивным (διάνοια) разумом; мир становления-доксы — на область веры (πίστις) и догадки (εικασία). Согласно Аристотелю, зна­ние может быть либо непосредственно-интуитивным (см. Нус),либо дискурсивным. В последнем случае оно может быть охарактеризовано как эпистеме (точное знание), если оно исходит из необходимых посылок, или как докса (мнение), если посылки имеют вероятност­ный характер. Докса — «ненадёжное», «допускающее ложь» знание, к-рое «может быть и неверным» (Anal, post. 89 а 5; 100 b7; Dean. 428 а 19 etc.). В теории сил­логизма аподиктич. силлогизм исходит из безуслов­ных и необходимых посылок, диалектич. силлогизм опирается на «общепринятые мнения», к-рые определя­ются как мнения, «признаваемые большинством или мудрыми». Реабилитация доксы в рамках дталектич. метода и заинтересованность в «общепринятых мне­ниях» привели к составлению в перипатетической шко­ле сборников «Мнений» предшественников по разным вопросам ( Δόξαι, см. Доксографы), напр. «Физич. мнения» Теофраста. Позитивный смысл термин «док­са» имеет и в назв. соч. Эпикура «Главные воззрения» (Κύριαι δόξαι).

• Schaerer R., Επιστήμη et τέχνη, Mäeon, 1930; Sprute J., Der Begriff der Doxa in der platonischen Philo­sophie, Gott., 1962; fiel seh E., Die platonischen Versionen der griechischen Doxalehre, Meisenheim am G-lan, 1970; M o u-relatos A. P., The route of Parmenides, New Haven, 1970, p. 194 sq.

МНОГОЗНАЧНАЯ ЛОГИКА,раздел логики, в к-ром множество истинностных значений содержит более чем два элемента. Если в классич. двузначной логике предложения при интерпретации принимают только два значения — «истинно» и «ложно», то в М. л. рассматрива­ются и др. значения (напр., «бессмысленно», «неопре­делённо» и т. п.). Иногда под М. л. понимают логику, не содержащую исключённого третьего принципа и не имеющую модальных операторов. Как и двузначная логика, М. л. имеет два раздела: логику высказываний и логику предикатов. В зависимости от мощности мно­жества истинностных значений различают конечно-многозначные логики (напр., n-значные логики Я. Лу-касевича и n-значные логики Д. А.Бочвара) и беско-нечномногозначные логики (напр., бесконечнозначная логика Лукасевича и интуиционистская логика). Се­мантика М. л. изучается как в виде истинностных таблиц, так и в алгебраич. форме. К алгебраич. аспек­там М. л. относится изучение функциональных свойств этих логик (в частности, проблема функциональной полноты).

М. л. находит применение в теории автоматич. уст­ройств, в исследовании проблем т. н. искусств. интел­лекта, в теоретич. программировании, а также исполь­зуется для формализации высказываний, истинност­ные значения к-рых зависят он контекста. См. также ст. Логика.

* Бочвар Д. А., Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов..., «Математич. сб.», 1938, т. 4(46), № 2, с. 287—308; Яблонский С. В., Функцио­нальные построения в k-значной логике, «Тр. математич. ин-та АН СССР», 1958, т. 51, с. 5—142; Финн В. К., Логич. пробле­мы информационного поиска, М., 1976; Re scher N., Manyvalued logic, N. Υ.— L.— San Francisco, 1969; G-o d-dardL.,Routley E., The logic of significance and context,

v. l. N. Y., 1973; H ä j ek P., Havränek T., Mechani­zing hypothesis formation, В.—Hdlb.—N. Υ., 1978,

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ,математик, теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. т.— свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных. Осн. содержание классич. М. т. было разработано нем. математиком Г. Кантором (в поcл. трети 19 в.). Классич. М. т. ис­ходит из признания применимости к бесконечным мно­жествам принципов логики. В развитии М. т. в нач. 20 в. выявились трудности (в т. ч. парадоксы), связан­ные с применением законов формальной логики (в частности, исключённого третьего принципа) к беско­нечным множествам. В ходе полемики о природе мате-матич. понятий сложились такие направления в осно­ваниях математики, как формализм, интуиционизм, логицизм, конструктивное направление. МНОЖЕСТВО,см. Класс в логике.

МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА,область логики, посвящённая изучению модальностей и построению и сравнит. иссле­дованию различных логич. исчислений (формальных систем), в к-рых модальности, наряду с логическими операциями, применяются к высказываниям и преди­катам. Глубокая связь между понятием логического за­кона и модальным оператором (а также между различ­ными реализациями важнейшего научно-познават. по­нятия осуществимости) необходимо обусловливает актуальность проблематики М. л.

В классич. системах М. л., для которых справед­ливы исключённого третьего принцип и закон снятия двойного отрицания ┐┐ А А, для операторов воз­можности необходимости ٱ справедливы соот­ношения двойственности:

ٱА ┐ ┐А и А ┐ٱ ┐А

, вполне аналогичные законам де Моргана алгебры ло­гики: ┐(А В) (┐ А ┐В)

и ┐ (А&В) (┐А ┐В)

(и соответствующим соотношениям логики предикатов для кванторов). Поэтому в аксиоматич. системах М. л. (см. Аксиоматический метод) в качестве исходной до­статочно ввести любую из этих модальных операций, определяя через неё другую посредством этих соотно­шений. Напротив, в интуиционистских и конструкти­вистских системах М. л. (см. Интуиционизм, Конструк­тивное направление) приходится вводить обе, не вы­ражающиеся друг через друга, модальные операции. В многочисл. исчислениях М. л. (начиная с работ амер. логика К. И. Льюиса) выявлена тесная связь проблематики М. л. и логич. семантики, позволяю­щая, в частности, ввести различные виды операций «строгой импликации» (см. Импликация), в нек-рых от­ношениях более адекватно уточняющих интуитивные представления о логическом следовании, нежели обычная для алгебры логики операция «материальной» импли­кации , обладающая такими противоречащими в из­вестном смысле содержат. логич. интуиции свойствами, как А И («истина следует из любого высказывания») и А («из лжи следует всё что угодно»). М. л. мо­жет быть интерпретирована в терминах многозначной логики, напр. в терминах трёхзначной системы с истин­ностными значениями «истинно», «ложно» и «возможно». Большинство систем М. л. оказывается бесконечнозна-чными, что, наряду с возможностью построения теории «правдоподобных выводов» с помощью средств М. л., указывает на родство М. л. и вероятностной логики. Понятия всякого рода относит. модальностей (типа «А возможно, если В») удаётся легко формализовать, до­полняя аппарат М. л. аппаратом логики предикатов. • Фейс Р., М. л., пер. [с англ.], М., 1974; Семантика модаль­ных и интенсиональных логик, пер. с англ., М., 1981.

МОДАЛЬНОСТЬ(от лат. modus — мера, способ), способ существования к.-л. объекта или протекания к.-л. явления (онтологич. М.) или же способ понима­ния суждения об объекте, явлении или событии (гносео-логич., или логич., М.). Понятие М. введено Аристо-

телем; его ученики и комментаторы Теофраст, Ев-дем Родосский и др., а затем средневековые схоласты признавали различие суждений по М. Предложенное Кантом разделение суждений на ассерторические (суж­дения действительности), аподиктические (суждения необходимости) и проблематические (суждения воз­можности) лежит в основе описания свойств М. в совр. модальной логике, где М. подразделяются, с од­ной стороны, на алетические (относящиеся к высказы­ваниям или предикатам) и деонтические (относящиеся к словам, выражающим действия, поступки), а с дру­гой — на абсолютные (безусловные) и относительные (условные). В совр. логич. семантике к М. часто при­числяют понятия «истинно» и «ложно», а также «до­казуемо», «недоказуемо» и «опровержимо». МОДЕЛИРОВАНИЕ,метод исследования объектов познания на их моделях; построение и изучение мо­делей реально существующих предметов и явлений (органич. и неорганич. систем, инженерных устройств, разнообразных процессов — физических, химических, биологических, социальных) и конструируемых объек­тов для определения либо улучшения их характерис­тик, рационализации способов их построения, управ­ления ими и т. п. Формы М. разнообразны и зависят от используемых моделей и сферы применения М. По ха­рактеру моделей выделяют предметное и знаковое (информац.) М.

Предметным наз. М., в ходе к-рого исследо­вание ведётся на модели, воспроизводящей опреде­лённые геометрические, физические, динамические либо функциональные характеристики объекта М.— ори­гинала; в частном случае аналогового М., когда оригинал и модель описываются едиными мате-матич. соотношениями (напр., одинаковыми диффе-ренц. уравнениями), электрич. модели используются для изучения механич., гидродинамич., акустич. и др. явлений. При знаковом М. моделями служат схе­мы, чертежи, формулы, предложения в нек-ром алфа­вите (естеств. или искусств. языка) и т. п. Важнейшим видом такого М. является математич. (логико-ма-тематич.) М., производимое выразительными и дедук­тивными средствами математики и логики. Поскольку действия со знаками всегда в той или иной мере свя­заны с пониманием знаковых конструкций и их пре­образований, построение знаковых (информац.) моде­лей или их фрагментов может заменяться мысленно-наглядным представлением знаков или операций над ними (мысленное М.). По характеру той сторо­ны объекта, к-рая подвергается М., различают М. его структуры и М. его поведения (функциони­рования, протекающих в нём процессов и т. п.). Это различение приобретает чёткий смысл в науках о жизни, где разграничение структуры и функции систем живого принадлежит к числу фундаментальных ме­тодологических принципов исследования, и в кибер­нетике, делающей акцент на М. функционирования систем.

Понятие М. является гносеологич. категорией, ха­рактеризующей один из важных путей познания. Воз­можность М., т. е. переноса результатов, полученных в ходе построения и исследования моделей, на ориги­нал, основана на том, что модель в определ. смысле отображает (воспроизводит. моделирует) к.-л. его стороны; для успешного М. этих сторон важно наличие соответств. теорий или гипотез, к-рые, будучи доста­точно обоснованными, указывали бы на рамки допус­тимых при М. упрощений.

М. всегда применяется вместе с др. общенауч. и спец. методами; особенно тесно оно связано с экспери­ментом. Изучение к.-л. явления на его модели (при предметном, аналоговом, знаковом M., M. на ЭЦВМ) есть особый вид эксперимента — модельный