Нормальное распределение и его свойства

Происхождение каждого эмпирического распределения обусловлено какими-то определенными естественными причинами. Совокупность причин, приводящих к тому или иному распределению, может быть в каждом случае иной.

Теоретическое распределение случайной величины, которому чаще всего соответствуют эмпирические распределения случайных величин в природе, является нормальным распределением или распределением Гаусса (закон Гаусса). Плотность вероятности нормального распределения определяется равенством

(2-1.25)

Соответствующая этой плотности дифференциальная кривая распределения показана на рис. 2-1.6.

Интегральная функция нормального распределения записывается в виде

. (2-1.26)

.(2-1.27)

Свойства нормального распределения:

1. Из рис. 8 видно, что нормальное распределение симметрично относительно ординаты, соответствующей значению M. Значение M является центром группирования - математическим ожиданием распределения.

Наибольшая ордината, отвечающая значению x=M, имеет величину

2. При одном и том же значении M,но различныхполучим семейство кривых (рис. 2-1. 8).

Из рис. 2-1.8 видно, что когда уменьшается, ордината растет. Подъем кривой в центральной части компенсируется более резким спадом её к оси , так что общая площадь остается неизменной и равной 1.

Нормальная кривая имеет две точки перегиба, абсциссами которых являются . Следовательно, чем больше ,тем шире кривая.

3. Интеграл от плотности вероятности нормального распределения в пределах от до равен 0,683; в пределах от до - 0,955; от до - 0,997.

4. Коэффициент асимметрии A нормального распределения равен нулю.

5. Эксцесс нормального распределения равен нулю.