Свойства эллипса

1. Оси эллипса являются его осями симметрии.

2. Центр эллипса является его центром симметрии.

3. Эллипс вписан в прямоугольник, стороны которого задаются уравнениями х = а, у = b.

4. Эксцентриситет эллипса , т.к. 0 c < a.

Если центр эллипса находится в точке (х₀; у₀), а оси эллипса параллельны осям координат, то уравнение эллипса примет вид

Если а < b, то уравнение (5) определяет эллипс, большая полу-

ось b которого лежит на оси Оу, а малая полуось а – на оси Ох. Фокусы такого эллипса находятся в точках F₁ (0; c) и F₂ (0; - с), где , а эксцентриситет .

Пусть M(x; y) – произвольная точка эллипса с фокусами F₁ и F₂. Длины отрезков MF₁ = r₁, MF₂ = r₂ называются фокальными радиусами точки М (рис. 3). Имеют место формулы

r₁ + r₂ = 2а, r₁ = а + х, r₂ = а - х.

Рис. 3 Свойства эллипса

Прямые x = называются директрисами эллипса.

Теорема. Если r - расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d - расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса: = .