Каноническое уравнение гиперболы

Пусть M(x; y) – произвольная точка гиперболы. Тогда, согласно определению гиперболы, |MF₁ - MF₂| = 2a, или MF₁ - MF₂ = 2a,

Преобразуем это уравнение:

;

;

; ;

;

;

.

Так как c > a,то с² - а² > 0. Положим c² – a² = b², тогда последнее уравнение примет вид b²x² - a²y² = a²b² или

(6)

Уравнение (6) называется каноническим уравнением гиперболы.

Прямая, проходящая через фокусы называется действительной осью гиперболы.

Середина отрезка F₁F₂ называется центром гиперболы.

Прямая, проходящая через центр перпендикулярно действительной оси, называется мнимой осью гиперболы.

Точки пересечения гиперболы с действительной осью называются вершинами гиперболы.

Вершины гиперболы имеют координаты: А₁ (- а; 0), А₂ (а; 0).

а

b

Рис. 5 Каноническое уравнение гиперболы

Эксцентриситет гиперболы – это число, равное отношению расстояния между фокусами к длине действительной оси:

.

Эксцентриситет определяет форму гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, тем более вытянут её основной прямоугольник.

Свойства гиперболы

1. Оси гиперболы являются его осями симметрии.

2. Центр гиперболы является его центром симметрии.

3. Эксцентриситет гиперболы > 1, т.к. c > a.

Если центр гиперболы находится в точке (х₀; у₀), а оси гиперболы параллельны осям координат (причём действительная ось параллельна оси Ох), то уравнение гиперболы примет вид

Если направить действительную ось по оси Оу, а мнимую – по оси Ох, то уравнение гиперболы примет вид

Если полуоси равны (a = b), то гипербола называется равносторонней и её каноническое уравнение:

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен .

Прямые, отстоящие от мнимой оси на расстоянии , называются директрисами гиперболы. Их уравнения: x = .

Так как для гиперболы > 1, то < a. Это означает, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая - между центром и левой вершиной гиперболы.

Фокальные радиусы r₁ и r₂ для точек правой ветви гиперболы имеют вид

r₁ = а + х, r₂ = х - а,

а для левой - r₁ = - ( а + х), r₂ = а – х.

Теорема. Если r - расстояние от произвольной точки гиперболы до какого-нибудь фокуса, d - расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы: = .