Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки этой плоскости, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Прямая, проходящая через фокус перпендикулярно директрисе, называется осью параболы. Точка пересечения оси с параболой называется вершиной параболы.

Выберем систему координат Oxy так, чтобы ось Ox проходила через ось параболы в направлении от директрисы к F, а начало координат О совместим с вершиной (расположим её посередине между фокусом и директрисой). Тогда фокус имеет координаты (рис. 6):

F ( ; 0), а уравнение директрисы: х = - .

Рис. 6 Парабола

Пусть M(x; y) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F. Проведём отрезок MN перпендикулярно директрисе. Тогда, по определению параболы имеем MF = MN. По формуле расстояния между двумя точками находим:

MF = , а MN = .

Следовательно, = .

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

,

откуда

.(7)

Уравнение (7) называется каноническим уравнением параболы.