Общее уравнение кривой второго порядка

Уравнение второго порядка относительно переменных и вида описывает кривые второго порядка.

Надо отметить, что в уравнении отсутствует слагаемое, содержащее произведение . Этот факт объясняется следующим образом. Рассматриваемое уравнение второго порядка можно привести к каноническому виду, выполняя линейные преобразования. С геометрической точки зрения это выглядит как параллельный перенос системы координат. Если же работать с уравнением , то здесь надо сначала повернуть систему координат, а затем осуществить ее параллельный перенос. Предметом нашего исследования будут уравнения, не содержащие слагаемое с произведением , как более простые.

По виду уравнения можно сразу определить вид кривой второго порядка.

1) если коэффициенты и равны ( ), то уравнение может описывать окружность;

2) если коэффициенты и не равны ( ), но имеют одинаковые знаки, то уравнение может описывать эллипс;

3) если коэффициенты и не равны ( ) и имеют разные знаки, то уравнение может описывать гиперболу;

4) если один из коэффициентов или равен нулю ( или ), т. е. отсутствует слагаемое, содержащее квадрат переменной или , то такое уравнение может описывать параболу.

Кривые, заданные уравнением , имеют смещенные оси симметрии, а значит и центр симметрии или координаты вершин.

Пример

Установить вид кривой и построить ее график.

Решение:

Уравнение может описывать гиперболу: коэффициенты , причем имеют разные знаки: .

Выделим полные квадраты по переменным . Для переменной получим квадрат суммы, а для переменной - квадрат разности. Преобразуем:

В итоге получили уравнение .

Это уравнение описывает гиперболу, центр симметрии которой находится в точке .

Докажем это. Введем обозначения: .

Уравнения новых координатных осей имеют вид:

Относительно старой системы координат новые оси записываются уравнениями:

Отсюда следует, начало новой системы координат – точка с координатами:

В новой системе координат заданное уравнение принимает канонический вид:

Исследуем полученное каноническое уравнение. Это уравнение описывает гиперболу. График этой гиперболы не пересекает ось , а ось пересекает в точках

Следовательно, мнимая полуось , действительная полуось .

Для более точного построения искомого графика найдем точки пересечения графика заданной гиперболы с координатными осями старой системы координат .

Точки пересечения графика гиперболы с осью

Точки пересечения графика гиперболы с осью

Вся нужная информация для построения графика, описанного уравнением , имеется.