Алгоритм построения графика

1. В старой системе координат строим прямые . Это новые оси и координатной системы соответственно. Начало координат - точка .

2. В новой системе координат имеем каноническое уравнение гиперболы Мнимая полуось , действительная полуось .

3. В новой системе координат строим прямоугольник со сторонами и , центр симметрии – начало координат , проводим диагонали – асимптоты гиперболы.

4. Зная, что гипербола, каноническое уравнение которой получили, ось не пересекает, а вершины находятся на оси в точках , легко построить искомую кривую (рис. 4). При этом для точности построения надо учесть точки пересечения графика гиперболы со старыми осями координат: ,

Рис. 4. График линии, заданной уравнением

Пример. Установить вид кривой для каждого из следующих равнений:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Решение:

1. - уравнение эллипса, коэффициенты имеют одинаковые знаки, ;

2. - уравнение гиперболы, коэффициенты , имеют разные знаки, ;

3. - уравнение параболы, коэффициенты ;

4. - уравнение гиперболы, коэффициенты имеют разные знаки, ;

5. - уравнение окружности, коэффициенты имеют одинаковые знаки, ;

6. - уравнение параболы, коэффициенты ;

7. - уравнение второго порядка выродилось в два линейных уравнения:

.

В таком случае говорят, что кривая второго порядка выродилась в две пересекающиеся и проходящие через начало координат прямые;

8. Хочется сказать, что данное уравнение описывает окружность: . Выполним преобразования.

Равенство на плоскости действительных чисел R² является ложным. Это мнимая окружность.