Одномерная линейная аппроксимация.

При проведении научно-технических расчетов часто используются зависимости вида у (х), причем число точек этих зависимостей ограничено. Неизбежно возникает задача получения приемлемой представительности функций в промежутках между узловыми точками (интерполяция) и за их пределами (экстраполяция). Эта задача решается аппроксимацией исходной зависимости, т. е. ее подменой какой-либо достаточно простой функцией. Система MathCAD предоставляет возможность аппроксимации двух типов: кусочно-линейной и сплайновой.

При кусочно-линейной интерполяции, или аппроксимации, вычисления дополнительных точек выполняются по линейной зависимости. Графически это означает просто соединение узловых точек отрезками прямых, для чего используется следующая функция:

linterp(VX, VY, х)

Для заданных векторов VX и VY узловых точек и заданного аргумента х эта функция возвращает значение функции при ее линейной аппроксимации. При экстраполяции используются отрезки прямых с наклоном, соответствующим наклону крайних отрезков при линейной интерполяции.

Одномерная сплайн-интерполяция и сплайн-аппроксимация.

При небольшом числе узловых точек (менее 10) линейная интерполяция оказывается довольно грубой. Для целей экстраполяции функция linterp не предназначена и за пределами области определения может вести себя непредсказуемо.

Гораздо лучшие результаты дает сплайн-аппроксимация. При ней исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов рассчитываются так, чтобы непрерывными были первая и вторая производные.

Для осуществления В-сплайновой аппроксимации система MathCAD предлагает четыре встроенные функции. Три из них служат для получения векторов вторых производных сплайн-функций при различном виде интерполяции:

cspline(VX, VY) — возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;

pspline(VX, VY) — возвращает вектор VS вторых производных при приближении к опорным точкам параболической кривой;

lspline(VX, VY) — возвращает вектор VS вторых производных при приближении к опорным точкам прямой.

Наконец, четвертая функция

interp(VS, VX, VY, x)-возвращает значение у (х) для заданных векторов VS, VX, VY и заданного значения x.

Таким образом, В-сплайн-аппроксимация проводится в два этапа. На первом с помощью функций cspline, pspline или Ispline отыскивается вектор вторых производных функции у (х), заданной векторами VX и VY ее значений (абсцисс и ординат). Затем, на втором этапе для каждой искомой точки вычисляется значение у (х) спомощью функции interp.

Двумерная линейная сплайн-интерполяция и В-сплайн-аппроксимация.

Для повышения качества построения ЗD-графиков имеется возможность осуществления двумерной сплайн-интерполяции. Это позволяет существенно повысить представительность сложных графиков SD-функций, в том числе контурных.

Интерполяция функции 2-х переменных проводится также в два этапа:

1. Вычисляется вектор VS вторых производных в опорных точках с помощью функций

cspline(Mxy,Mz),

pspline(Mxy,Mz),

lspline(Mxy,Mz)

Здесь Mxy - матрица размера n*2, сторки которой определяют по диагонали (x,y)координаты прямоугольной сетки,

Mz - матрица размера n*n значений функции в узлах вышеопределенной сетки.

2. Вычисление с помощью функции interp(VS,Mxy,Mz,V). Здесь V - вектор координат (x,y).

На рисунке справа показан график функции 2-х переменных после проведения двумерной В-сплайн-интерполяции, а слева - без нее.

Интерполирование. Аппроксимация

Найти приближенное значение функции при заданном значении аргумента

с помощью линейной интерполяции

с помощью кубического сплайна

с помощью линейной аппроксимации

методом наименьших квадратов при m=2 и при m=3, где m- порядок полинома. Вычислить среднеквадратичное отклонение

с помощью полиномиальной регрессии

построить графики таблично заданной функции, интерполяционного полинома и аппроксимирующей функции в одних осях координат.

0.150 6.616 0.162

0.155 7.399

0.160 6.196

0.165 6.005

0.170 7.825

0.175 5.655

Решение:

В MathCAD есть несколько способов интерполяции и предсказывания:

линейная интерполяция – соединение точек прямой линией;

кубическая сплайновая интерполяция – соединение точек с использованием кубических линий;

интерполяция В-сплайн – соединение точек с использованием многочленов определенной степени в данных узлах;

многомерная кубическая сплайновая интерполяция – создание поверхности, проходящей через сетку точек;

линейное предсказание (экстраполяция) – определение значений вне набора данных.

Далее будут приведены примеры интерполирования функции с использованием лишь некоторых способов интерполирования.