Базовые логические функции

Лекция. Логические схемы ЭВМ. Базовые логические функции. Объединение логических функций. Минимизация логических функций. Законы двоичной логики

Базовые логические функции

Электронные логические вентили

Объединение логических функций

Минимизация логических выражений

Синтез вентилей И-НЕ и ИЛИ-НЕ

В цифровых компьютерах информация представляется и обрабатывается с помо­щью электронных логических схем. Логические схемы оперируют двоичными пе­ременными, принимающими одно из двух значений (обычно таковыми являются нуль и единица). В данном разделе вы познакомитесь с понятием логиче­ских функций и узнаете, как строятся реализующие их логические схемы. Здесь же приведен краткий обзор технологий создания логических схем.

Базовые логические функции

Введение в двоичную логику проще всего начать с простого примера, знакомого многим из вас. Представьте себе обычную электрическую лампочку, состояние которой (включена/выключена) управляется двумя выключателями, х₁ и х₂. Ка­ждый из выключателей может находиться в одном из двух возможных положе­ний, 0 или 1 ( рис. 2.1, а). Это означает, что его можно представить как двоичную переменную. Поэтому пусть имена переключателей служат и именами соответст­вующих им двоичных переменных. То, как выключатели будут управлять включением и выключени­ем лампочки, зависит от соединения их проводов. Свет горит лишь в том случае, если образуется замкнутый контур, соединяющий лампочку с источником пита­ния.

Рис. 2.1. Схемы включения электрической лампочки: лампочка, управляемая двумя выключателями (а); параллельное соединение выключателей — схема ИЛИ (б); последовательное соединение выключателей — схема И (в); соединение выключателей по схеме Исключающее ИЛИ (г)

Пусть условие включения лампочки представляет двоичная переменная f. Если лампочка включена, значит f = 1, а если она выключена, то f = 0. Таким об­разом, условие f = 1 указывает, что в цепи существует как минимум один замкну­тый контур, а условие f = 0 означает, что замкнутого контура нет. Очевидно, что f является функцией двух переменных, х₁ и х₂Теперь давайте рассмотрим существующие способы управления лампочкой. Для начала предположим, что она будет гореть при условии, что хотя бы один из переключателей находится в положении 1, то есть f = 1, если

x₁ = 1 и x₂ = 0

или

x₁ = 0 и x₂ = 1

или

x₁ = 1 и x₂ = 1

Соединения, реализующие этот тип управления, показаны на рис. 2.1, б. Рядом со схемой приведена представляющая эту ситуацию логическая таблица истинно­сти. В таблице перечислены все возможные пары установок переключателей и соответствующие им значения функции f.

В терминах математической логики эта таблица представляет функцию ИЛИ (OR) переменных х₁ и x₂.

Операцию ИЛИ обычно представляют алгебраическим знаком «+» или «Ú», так что

f = x₁+x₂ = x₁ Ú x₂

Мы говорим, что x₁ и х₂ являются входными переменными, а f— это выходная функция.

Следует указать некоторые важнейшие свойства операции ИЛИ. Прежде все­го, она коммутативна, то есть

x₁+x₂ = x₂+x₁

Данная операция распространяется на n переменных, так что функция

f = x₁+x₂ + … + x_n

принимает значение 1, если это же значение имеет хотя бы одна переменная x_i.

Проанализировав таблицу истинности, можно увидеть, что

1 + x = 1

и

0 + x = x

А теперь предположим, что лампочка должна загораться только в том случае, если оба выключателя находятся в положении 1. Такая схема соединения выключателей и соответствующая ей таблица истинности показана на рис. 2.1, в. Эта схема соответствует функции И (AND), для обозначения которой используются символы «∙» или «∩»:

f = x₁ ∙ x₂ = x₁ ∩ x₂

Вот важнейшие свойства операции И:

x₁ ∙ x₂ = x₂ ∙ x₁

1 ∙ x = x

0 ∙ x = 0

Функцию И тоже можно распространить на n переменных:

f = x₁ ∙ x₂ ∙ … ∙ x_n

Эта функция имеет значение 1 только в том случае, если все переменные x_i имеют значение 1. Она представляет такую же схему, как на рис. 2.1 в, в которой, правда, последовательно соединено большее количество выключателей.

Последний вариант соединения выключателей также достаточно распростра­нен. Здесь выключатели подсоединены с двух концов ступенчатого контура, так что лампочку можно включать и выключать с помощью любого из них. Это означа­ет, что если свет включен, изменением положения любого из выключателей его можно выключить, а если свет выключен, изменением положения любого из вы­ключателей его можно включить. Предположим, что лампочка не горит, когда оба выключателя находятся в положении 0. Переключение же любого из них в поло­жение 1 включает лампочку. Теперь предположим, что лампочка горит, если x₁ = 1, а х₂ = 0. Переключение x₁ в положение 0 выключает лампочку. Более того, для ее выключения можно также установить х₂ в положение 1, то есть f = 0, если х₁ = x₂ = 1. Соединение, которое реализует этот способ управления лампочкой, показано на рис.2.1, г. Соответствующая логическая операция, представляемая символом « », называется Исключающее ИЛИ (EXCLUSIVE-OR или XOR). Приведем ее важнейшие свойства:

где обозначает функцию НЕ (NOT) от переменной х.

Эта функция переменной f= имеет значение 1, если х = 0, и значение 0, если х = 1. В подобном случае мы говорим, что входное значение х инвертируется или дополняется.