Объединение логических функций

Рассмотрим схему, которая состоит из двух вентилей И и одного вентиля ИЛИ (рис. 2.3. а). Она может быть представлена выражением

Схема составления таблицы истинности для этого выражения показана на рис. 2.3. 6. Сначала для каждого входного значения определяются значения тер­мов И, затем, с помощью операции ИЛИ, — результирующие значения функции f .Таблица истинности функции а идентична таблице истинности функции Исклю­чающее ИЛИ, так что схема с тремя вентилями, показанная на рис. 2.3. а, реали­зует функцию Исключающее ИЛИ с помощью вентилей И, ИЛИ и НЕ. Логиче­ское выражение ∙ x_{2 +} x_{1 ∙} называется суммой произведений, поскольку операцию ИЛИ иногда называют суммой, а операцию И — произведением. Сле­дует отметить, что правильнее было бы записать это выражение так:

Такая форма записи, как вы понимаете, отражает порядок применения логиче­ских операций. Для упрощения подобных выражений определяют иерархию опе­раций И, ИЛИ и НЕ. Если в выражении отсутствуют скобки, логические опера­ции выполняются в следующем порядке: сначала НЕ, затем И и только после этого ИЛИ. Более того, оператор «•» часто вовсе пропускают, если выражение не допускает двухзначной интерпретации.

∙ x_{2 +} x_{1 ∙}

Возвращаясь к сумме произведений, мы сейчас покажем, как можно синтези­ровать любую логическую функцию непосредственно на основе ее таблицы ис­тинности (табл. 2.1.).

Таблица 2. 1. Функции трех переменных

Предположим, мы хотим составить схему функции f₁ на основе вентилей И, ИЛИ и НЕ. Для каждой cтроки таблицы, в которой f₁ = 1, в формулу суммы про­изведений включается терм И со всеми тремя входными переменными. К одной, двум или трем из этих переменных по отдельности нужно применить оператор НЕ — таким образом, чтобы терм был равен 1 только в том случае, когда значения переменных соответствуют данной строке таблицы истинности. Это означает, что если в этой строке x_i = 0, в произведение включается элемент ,а если x_i = 1 — элемент x_i. Например, в четвертой строке таблицы истинности значение функ­ции 1 соответствует входным значениям:

Данной строке соответствует терм x₂x₃. Составив аналогичные термы для всех строк таблицы истинности, в которых функция f₁ имеет значение 1, мы полу­чим вот такую сумму произведений:

Логическая схема, соответствующая этому выражению, приведена в левой части рис. 2. 4. В качестве еще одного примера использования описанного алго­ритма можно сформировать сумму произведений для функции Исключающее ИЛИ. Этот алгоритм может применяться с целью формирования суммы произве­дений и соответствующей логической схемы на основе таблицы истинности

лю­бого размера.

Рис. 2. 4. Логическая схема для функции f₁ из табл. 2.1 и соответствующая ей минимальная схема реализации