Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Построение кубического сплайна.




ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ СПЛАЙНАМИ

 

При большом количестве узлов интерполяции возрастает степень интерполяционных многочленов, что приводит к плохому приближению из-за накопления вычислительных погрешностей. Высокой степени многочлена можно избежать, разбив отрезок [a,b] на несколько частей с построением на каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена ( так называемая кусочно-полиномиальная интерполяция). В этом случае удобно пользоваться особым видом кусочно-полиномиальной интерполяции – интерполяцией сплайнами(spline-рейка). Рассмотрим способ построения сплайнов третьей степени (так называемых кубических сплайнов), наиболее широко распространённых на практике.

Построение кубического сплайна.

 

Пусть на задана непрерывная функция .Введём сетку и обозначим

Сплайном, соответствующим данной функции и данным узлам называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1) на каждом сегменте функция является многочленом третьей степени;

2) функция , а также её первая и вторая производные непрерывны на ;

3)

Последнее условие называется условием интерполирования, а сплайн, определяемый этими тремя условиями, называется интерполяционным кубическим сплайном.

Сплайн, определённый таким образом , существует и единственен, если наложить два дополнительных условия на производные функции . Покажем способ его построения.

На каждом из отрезков , будем искать функцию в виде многочлена третьей степени:

(1)

где -известные величины , -коэффициенты подлежащие определению.

Для того чтобы составить систему уравнений для коэффициентов сплайна , необходимо потребовать , чтобы в точке , совпадали значения многочленов и , а также значения их первых и вторых производных , то есть

, , .

Учитывая выражения для функции и обозначая , получаем уравнения

(2)

(3)

(4)

Это система 3N-2 уравнений относительно 3N неизвестных . Два недостающих уравнения получают , задавая те или иные граничные условия для . Полученная система 3N уравнений может быть решена тем или иным методом решения систем линейных уравнений.

ПРИМЕР 1:

 

Предположим , например , что функция удовлетворяет условиям . Тогда естественно потребовать , чтобы .Отсюда получаем то есть

. (5)

Исключим из системы (2)-(5) переменные , и получим трёхдиагональную систему , содержащую только переменные :

,

где положено . Эту систему можно решать любым методом , однако такие трёхдиагональные системы удобно решать методом прогонки , которая в данном случае устойчива. По найденным коэффициентам определим остальные коэффициенты по формулам.

,

 

ПРИМЕР 2:

 

Пусть функция задана таблицей своих значений :

 

0.1 0.15 0.19 0.25 0.28 0.30
1.1052 1.1618 1.2092 1.2840 1.3231 0.3499

 

требуется построить сплайн третьего порядка. Заданы два граничных условия :

, где

, где ,

где Подставив данное условие в (1) получим два недостающих уравнения :

,

.

Имеем систему из пятнадцати уравнений для пятнадцати неизвестных ( ) :

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

Символы являются численными константами определёнными выше в граничных условиях.

Выражая переменные из уравнений 1., а переменные из уравнений 3., 4., 5., и подставляя полученные значения в уравнения 2.,получим трёхдиагональную систему из пяти уравнений , содержащую только переменные :

· ,

· ,

· .

Решим данную трёхдиагональную систему методом правой прогонки. В данном случае он является устойчивым, так как коэфициенты при переменных соответствуют условиям.

По найденным коэфициентам определим остальные коэфициенты по следующим формулам :

, ,

, ,

Подставим значения вычисленных коэфициентов в формулу (1) и получим функции интерполирования для каждого из отрезков ,

 

ЗАДАНИЯ:

 

Функция задана таблицей своих значений . Построить сплайн третьего порядка и вычислить значение функции в указанных точках ,

Вариант N1.

0.1 0.15 0.19 0.25 0.28 0.30
1.1052 1.1618 1.2092 1.2840 1.3231 0.3499

, ,

Вариант N2.

0.2 0.24 0.26 0.29 0.32 0.38
1.2214 1.2712 1.2969 1.3364 1.3771 1.4623

, ,

Вариант N3.

0.1 0.13 0.17 0.20 0.25 0.28
0.0998 0.1296 0.1692 0.1987 0.2474 0.2764

, ,

Вариант N4.

0.1 0.15 0.18 0.22 0.28 0.30
1.1052 1.1618 1.1972 1.2461 1.3231 1.3499

, ,

Вариант N5.

0.2 0.24 0.27 0.30 0.32 0.38
1.2214 1.2712 1.3100 1.3499 1.3771 1.4623

, ,

Вариант N6.

0.1 0.14 0.16 0.20 0.24 0.30
0.1234 0. 1456 0.1874 0.2361 0.2475 0.4562

, ,

Вариант N7.

0.2 0.26 0.28 0.31 0.32 0.38
1.2214 1.2765 1.3071 1.3456 1.3775 1.4568

, ,

Вариант N8.

0.2 0.25 0.28 0.30 0.33 0.36
1.2222 1.2345 1.2876 1.3345 1.3864 1.4123

, ,

Вариант N9.

0.1 0.15 0.18 0.23 0.26 0.31
0.2345 0.3647 0.4634 0.5221 0.6231 0.8352

, ,

Вариант N10.

0.1 0.13 0.18 0.24 0.28 0.32
1.1123 1.1453 1.2344 1.4321 1.8321 1.8888

, ,

Вариант N11.

0.2 0.24 0.25 0.28 0.35 0.38
1.2342 1.4532 1.8723 2.1234 2.3421 2.4321

, ,

Вариант N12.

0.1 0.13 0.18 0.20 0.24 0.28
0.1234 0.1345 0.1678 0.2234 0.2678 0.3112

, ,

Вариант N13.

0.1 0.15 0.18 0.22 0.26 0.31
0.1234 0.1456 0.1897 0.2343 0.2872 0.3213

, , .

Вариант N14.

0.2 0.24 0.28 0.32 0.36 0.38
1.2345 1.2532 1.2876 1.3241 1.3632 1.4231

, ,

Вариант N15.

0.1 0.15 0.16 0.18 0.25 0.30
0.1123 0.1467 0.1873 0.2134 0.2436 0.2531


, ,

Вариант N16.

0.2 0.23 0.26 0.30 0.34 0.36
1.1232 1.2345 1.2675 1.2876 1.3452 1.3672

, ,

Вариант N17.

0.1 0.14 0.18 0.23 0.28 0.31
1.1122 1.1342 1.1654 1.2132 1.2454 1.2675

, ,

Вариант N18.

0.2 0.24 0.26 0.28 0.32 0.36
1.2231 1.2524 1.2861 1.3421 1.3872 1.4653

, ,

Вариант N19.

0.2 0.25 0.28 0.34 0.38 0.42
1.3452 1.3654 1.3823 1.4231 1.4652 1.4826

, ,

Вариант N20.

0.2 0.23 0.26 0.28 0.34 0.38
0.0291 0.1342 0.3522 0.4635 0.4821 0.5212

, ,

Вариант N21.

0.1 0.16 0.18 0.24 0.26 0.32
0.1232 0.1342 0.16232 0.18234 0.2342 0.2621

, ,

Вариант N22.

0.1 0.12 0.15 0.19 0.24 0.28
0.2143 0.2432 0.2832 0.3123 0.3243 0.3622

, ,

Вариант N23.

0.2 0.24 0.25 0.32 0.36 0.40
1.2342 1.2633 1.2823 1.3645 1.3843 1.4123

, ,

Вариант N24.

0.1 0.14 0.16 0.18 0.24 0.28
1.1231 0.1342 0.1654 0.1823 0.2134 0.2432

, ,

Вариант N25.

0.2 0.24 0.26 0.28 0.34 0.38
1.1234 1.1453 1.1675 1.2123 1.2456 1.2654

, ,

Литература:

1. П. И. Монастырный. Сборник задач по МЕТОДАМ ВЫЧИСЛЕНИЙ -Минск-Издательство БГУ им. В. И. Ленина. 1983г.

2. Н. Б. Медведева , К. А. Рязанов. Численные методы(Методические указания к лабораторным работам) Челябинск. 1998г.


Поделиться:

Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 273; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.012 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты