Построение кубического сплайна.

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ СПЛАЙНАМИ

При большом количестве узлов интерполяции возрастает степень интерполяционных многочленов, что приводит к плохому приближению из-за накопления вычислительных погрешностей. Высокой степени многочлена можно избежать, разбив отрезок [a,b] на несколько частей с построением на каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена ( так называемая кусочно-полиномиальная интерполяция). В этом случае удобно пользоваться особым видом кусочно-полиномиальной интерполяции – интерполяцией сплайнами(spline-рейка). Рассмотрим способ построения сплайнов третьей степени (так называемых кубических сплайнов), наиболее широко распространённых на практике.

Построение кубического сплайна.

Пусть на задана непрерывная функция .Введём сетку и обозначим

Сплайном, соответствующим данной функции и данным узлам называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1) на каждом сегменте функция является многочленом третьей степени;

2) функция , а также её первая и вторая производные непрерывны на ;

3)

Последнее условие называется условием интерполирования, а сплайн, определяемый этими тремя условиями, называется интерполяционным кубическим сплайном.

Сплайн, определённый таким образом , существует и единственен, если наложить два дополнительных условия на производные функции . Покажем способ его построения.

На каждом из отрезков , будем искать функцию в виде многочлена третьей степени:

(1)

где -известные величины , -коэффициенты подлежащие определению.

Для того чтобы составить систему уравнений для коэффициентов сплайна , необходимо потребовать , чтобы в точке , совпадали значения многочленов и , а также значения их первых и вторых производных , то есть

, , .

Учитывая выражения для функции и обозначая , получаем уравнения

(2)

(3)

(4)

Это система 3N-2 уравнений относительно 3N неизвестных . Два недостающих уравнения получают , задавая те или иные граничные условия для . Полученная система 3N уравнений может быть решена тем или иным методом решения систем линейных уравнений.

ПРИМЕР 1:

Предположим , например , что функция удовлетворяет условиям . Тогда естественно потребовать , чтобы .Отсюда получаем то есть

. (5)

Исключим из системы (2)-(5) переменные , и получим трёхдиагональную систему , содержащую только переменные :

,

где положено . Эту систему можно решать любым методом , однако такие трёхдиагональные системы удобно решать методом прогонки , которая в данном случае устойчива. По найденным коэффициентам определим остальные коэффициенты по формулам.

,

ПРИМЕР 2:

Пусть функция задана таблицей своих значений :

	0.1	0.15	0.19	0.25	0.28	0.30
	1.1052	1.1618	1.2092	1.2840	1.3231	0.3499

требуется построить сплайн третьего порядка. Заданы два граничных условия :

, где

, где ,

где Подставив данное условие в (1) получим два недостающих уравнения :

,

.

Имеем систему из пятнадцати уравнений для пятнадцати неизвестных ( ) :

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

Символы являются численными константами определёнными выше в граничных условиях.

Выражая переменные из уравнений 1., а переменные из уравнений 3., 4., 5., и подставляя полученные значения в уравнения 2.,получим трёхдиагональную систему из пяти уравнений , содержащую только переменные :

· ,

· ,

· .

Решим данную трёхдиагональную систему методом правой прогонки. В данном случае он является устойчивым, так как коэфициенты при переменных соответствуют условиям.

По найденным коэфициентам определим остальные коэфициенты по следующим формулам :

, ,

, ,

Подставим значения вычисленных коэфициентов в формулу (1) и получим функции интерполирования для каждого из отрезков ,

ЗАДАНИЯ:

Функция задана таблицей своих значений . Построить сплайн третьего порядка и вычислить значение функции в указанных точках ,

Вариант N1.

	0.1	0.15	0.19	0.25	0.28	0.30
	1.1052	1.1618	1.2092	1.2840	1.3231	0.3499

, ,

Вариант N2.

	0.2	0.24	0.26	0.29	0.32	0.38
	1.2214	1.2712	1.2969	1.3364	1.3771	1.4623

, ,

Вариант N3.

	0.1	0.13	0.17	0.20	0.25	0.28
	0.0998	0.1296	0.1692	0.1987	0.2474	0.2764

, ,

Вариант N4.

	0.1	0.15	0.18	0.22	0.28	0.30
	1.1052	1.1618	1.1972	1.2461	1.3231	1.3499

, ,

Вариант N5.

	0.2	0.24	0.27	0.30	0.32	0.38
	1.2214	1.2712	1.3100	1.3499	1.3771	1.4623

, ,

Вариант N6.

	0.1	0.14	0.16	0.20	0.24	0.30
	0.1234	0. 1456	0.1874	0.2361	0.2475	0.4562

, ,

Вариант N7.

	0.2	0.26	0.28	0.31	0.32	0.38
	1.2214	1.2765	1.3071	1.3456	1.3775	1.4568

, ,

Вариант N8.

	0.2	0.25	0.28	0.30	0.33	0.36
	1.2222	1.2345	1.2876	1.3345	1.3864	1.4123

, ,

Вариант N9.

	0.1	0.15	0.18	0.23	0.26	0.31
	0.2345	0.3647	0.4634	0.5221	0.6231	0.8352

, ,

Вариант N10.

	0.1	0.13	0.18	0.24	0.28	0.32
	1.1123	1.1453	1.2344	1.4321	1.8321	1.8888

, ,

Вариант N11.

	0.2	0.24	0.25	0.28	0.35	0.38
	1.2342	1.4532	1.8723	2.1234	2.3421	2.4321

, ,

Вариант N12.

	0.1	0.13	0.18	0.20	0.24	0.28
	0.1234	0.1345	0.1678	0.2234	0.2678	0.3112

, ,

Вариант N13.

	0.1	0.15	0.18	0.22	0.26	0.31
	0.1234	0.1456	0.1897	0.2343	0.2872	0.3213

, , .

Вариант N14.

	0.2	0.24	0.28	0.32	0.36	0.38
	1.2345	1.2532	1.2876	1.3241	1.3632	1.4231

, ,

Вариант N15.

	0.1	0.15	0.16	0.18	0.25	0.30
	0.1123	0.1467	0.1873	0.2134	0.2436	0.2531

, ,

Вариант N16.

	0.2	0.23	0.26	0.30	0.34	0.36
	1.1232	1.2345	1.2675	1.2876	1.3452	1.3672

, ,

Вариант N17.

	0.1	0.14	0.18	0.23	0.28	0.31
	1.1122	1.1342	1.1654	1.2132	1.2454	1.2675

, ,

Вариант N18.

	0.2	0.24	0.26	0.28	0.32	0.36
	1.2231	1.2524	1.2861	1.3421	1.3872	1.4653

, ,

Вариант N19.

	0.2	0.25	0.28	0.34	0.38	0.42
	1.3452	1.3654	1.3823	1.4231	1.4652	1.4826

, ,

Вариант N20.

	0.2	0.23	0.26	0.28	0.34	0.38
	0.0291	0.1342	0.3522	0.4635	0.4821	0.5212

, ,

Вариант N21.

	0.1	0.16	0.18	0.24	0.26	0.32
	0.1232	0.1342	0.16232	0.18234	0.2342	0.2621

, ,

Вариант N22.

	0.1	0.12	0.15	0.19	0.24	0.28
	0.2143	0.2432	0.2832	0.3123	0.3243	0.3622

, ,

Вариант N23.

	0.2	0.24	0.25	0.32	0.36	0.40
	1.2342	1.2633	1.2823	1.3645	1.3843	1.4123

, ,

Вариант N24.

	0.1	0.14	0.16	0.18	0.24	0.28
	1.1231	0.1342	0.1654	0.1823	0.2134	0.2432

, ,

Вариант N25.

	0.2	0.24	0.26	0.28	0.34	0.38
	1.1234	1.1453	1.1675	1.2123	1.2456	1.2654

, ,

Литература:

1. П. И. Монастырный. Сборник задач по МЕТОДАМ ВЫЧИСЛЕНИЙ -Минск-Издательство БГУ им. В. И. Ленина. 1983г.

2. Н. Б. Медведева , К. А. Рязанов. Численные методы(Методические указания к лабораторным работам) Челябинск. 1998г.