Полюсы и поляры

Уравнение

помимо касательной опряделяет прямую, называемую полярой точки относительно кривой второго порядка, независимо от того, лежит ли эта точка на кривой или нет. При этом точка называется полюсом этой прямой. Поляра точки кривой есть её касательная в этой точке.

Теоремы о полюсах и полярах:

1. Если прямая, проведённая через полюс пересекает поляру в точке а кривую второго порядка — в точках и то точки и гармонически разделяют отрезок т. е. выполняется условие
   
2. Если точка лежит на некоторой прямой, то её поляра проходит через полюс этой прямой. Если прямая проходит через некоторую точку, то её полюс лежит на поляре этой точки.
3. Диаметр кривой второго порядка есть поляра бесконечно удалённой точки, через которую проходят сопряжённые ему хорды, а центр кривой есть полюс бесконечно удалённой прямой.
4. Фокус кривой есть центр пучка, обладающего тем свойством, что полюс любой его прямой принадлежит перпендикулярной к ней прямой пучка. Директрисса есть поляра фокуса.

Из этих утверждений, в частности, следует, что:

1. если через точку можно провести две касательные к кривой, то поляра этой точки проходит через точки касания;
2. касательные к кривой в концах диаметра параллельны сопряжённым ему хордам;
3. точка пересечения касательных к кривой в концах любой её хорды, проходящей через фокус, лежит на директриссе;
4. каждая хорда, проходящая через фокус, перпендикулярна к прямой, проведённой через её фокус и точку пересечения касательных в концах хорды.

5. Эллипс – геометрическое множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая, чем расстояние между фокусами 2c: .

6.

7. Эллипс, заданный каноническим уравнением:

8.

9. симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки , , , называются его вершинами.

10.

11. Если а>b, то фокусы находятся на оси ОХ на расстоянии от центра эллипса О.

12.

13. Число ( )

14.

15. называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его «сплюснутости» (при эллипс является окружностью, а при он вырождается в отрезок длиною ).

16.

17. Если а<b, то фокусы находятся на оси ОY и , .

18.

19.

20. Гипербола– геометрическое множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, меньшая, чем расстояние между фокусами 2c: .

21.

22. Гипербола, заданная каноническим уравнением:

23.

24.

25. симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось ОХ в точках и - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОY.

26.

27. Параметр а называется вещественной полуосью, b – мнимой полуосью.

28. Число , ( )

29.

30. называется эксцентриситетом гиперболы.

31.

32. Прямые называются асимптотами гиперболы.

33.

34. Гипербола, заданная каноническим уравнением :

35. ( или ),

36.

37. называется сопряжённой ( имеет те же асимптоты ). Её фокусы расположены на оси OY. Она пересекает ось ОY в точках и - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОX.

38.

39. В этом случае параметр b называется вещественной полуосью, a – мнимой полуосью. Эксцентриситет вычисляется по формуле: , ( ).

40.

41.

42. Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой

43. фокусом, и данной прямой, называемой директрисой: .

44.

45. Парабола, заданная указанным каноническим уравнением, симметрична относительно оси ОХ.

46.

47. Уравнение задает параболу, симметричную относительно оси ОY.

48.

49. Парабола имеет фокус и директрису .

50.

51. Парабола имеет фокус и директрису .

52.

53. Если р>0, то в обоих случаях ветви параболы обращены в положительную сторону соответствующей оси, а если р<0 – в отрицательную сторону.

54.