Параллельный перенос системы координат

56. Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат: ("старая") и ("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены (рис. 12.19)

57.

58.

59. Рис.12.19.Параллельный перенос системы координат

60.

61. В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом".

62. Пусть начало "новой" системы координат имеет в "старой" системе координат координаты , и пусть -- некоторая точка плоскости. Обозначим координаты точки в "старой" системе координат , а в "новой" -- . Из рис. 12.19 ясно, что , . Откуда , . Так как точка взята произвольно, то индекс 0 в записи ее координат, как "старых", так и "новых", можно убрать. Получаем связь между "старыми" и "новыми" координатами точки при параллельном переносе осей координат:

(12.11)

63.

64. Выясним теперь, как связаны друг с другом уравнения одной и той же кривой в "старых" и "новых" координатах.

65. Предложение 12.6 Пусть некоторая кривая задана уравнением . Тогда в системе координат , полученной параллельным переносом, с началом в точке уравнение кривой будет иметь вид .

66. Однако, для практического использования это предложение удобнее сформулировать немного подругому.

67. Предложение 12.7 Пусть некоторая кривая задана уравнением . Тогда в системе координат , полученной параллельным переносом, с началом в точке уравнение кривой будет иметь вид .

68. Доказательство обоих предложений очевидным образом следует из формул (12.11) связи между старыми и новыми координатами.

69. Пример 12.7 Нарисуйте кривую и найдите ее фокусы.

70. Решение. Выделим полные квадраты по переменным и (см. пример 12.1):

71.

72. Откуда

73.

74. Разделим обе части на 9:

75.

76. Введем новую систему координат с началом в точке , получающуюся из старой параллельным переносом. По предложению 12.7 получим, что кривая задается уравнением

77.

78. а это -- каноническое уравнение эллипса с полуосями 3 и 1. Сделаем рисунок (рис. 12.20).

79.

80.

81. Рис.12.20.Эллипс, заданный уравнением

82.

83. Из формулы (12.5) . Поэтому фокусы в новой системе координат имеют координаты , . Используя формулы (12.11), находим старые координаты фокусов , . Таким образом, фокусами являются точки , .

84. Пример 12.8 Постройте параболу

85.

86. найдите ее фокус и директрису.

87. Решение. Преобразуем уравнение к виду и выделим полный квадрат по переменному :

88.

89. Из этого уравнения получим . Произведем параллельный перенос осей координат: , , новое начало координат -- . В новых координатах уравнение параболы примет вид , которое тоже не является каноническим. Но если мы изменим направление оси ординат и переобозначим оси: , , то получим уравнение . Это уравнение -- каноническое, , . Строим оси и параболу (рис. 12.21).

90.

91.

92. Рис.12.21.Парабола, заданная уравнением

93.

94. В системе координат фокус имеет координаты , а директриса задается уравнением . В системе координат координаты фокуса -- , а уравнение директрисы . Наконец, в исходной системе координат получим фокус и уравнение директрисы , что и служит ответом к задаче.

95. Пример 12.9 Постройте кривую

96.

97. Решение. Преобразуем уравнение к виду

(12.12)

98.

99. Возведем обе части в квадрат:

100.

101. При этом появились новые точки, которые удовлетворяют последнему уравнению, но не удовлетворяют уравнению (12.12). Эти посторонние точки мы отбросим потом. Выделим полный квадрат по переменному :

102.

103. то есть

104.

105. Обе части разделим на 4 и произведем параллельный перенос системы координат: , . Получим уравнение

106.

107. которое является каноническим уравнением эллипса с полуосями: 2 и . Нарисуем его (рис. 12.22).

108.

109.

110. Рис.12.22.Эллипс, заданный уравнением

111.

112. Чтобы отбросить посторонние точки, возникшие при возведении в квадрат, преобразуем уравнение (12.12) к виду

113.

114. Из этого уравнения видно, что . Поэтому от нарисованного ранее эллипса нужно оставить только левую половину (рис. 12.23).

115.

116.

117. Рис.12.23.Кривая, заданная уравнением