ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке Тема: Перестановки, размещения и сочетания. Известно, что студент за 3 экзамена получил три различные оценки (3, 4 и 5)

Известно, что студент за 3 экзамена получил три различные оценки (3, 4 и 5). Тогда эти оценки могли быть поставлены _____ способами.

ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке
Тема: Аксиоматический метод

К неопределяемымпонятиям теории относятся понятия, …

			содержание которых можно выяснить только из опыта
			определяемые с помощью ранее введенных понятий
			редко используемые в данной теории
			не рассматриваемые в данной теории

Решение:
К неопределяемым понятиям теории относятся понятия, которые достаточно сложно определить, и их содержание можно выяснить только из опыта. Эти понятия принимаются без определения. Например, в геометрии к неопределяемым (основным) относятся такие понятия, как «множество», «точка», «прямая», «плоскость». Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение с помощью ранее введенных понятий. Такие понятия относятся к определяемым понятиям.
К неопределяемым понятиям теории не относят понятия, не рассматриваемые или редко используемые в данной теории.
Таким образом, к неопределяемымпонятиям теории относятся понятия, содержание которых можно выяснить только из опыта.

ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке
Тема: Высказывания. Основные операции над высказываниями

Даны высказывания = «Сегодня выходной», = «Я пойду в кино». Тогда формуле соответствует высказывание:

			«Сегодня выходной и я не пойду в кино»
			«Если сегодня выходной, то я не пойду в кино»
			«Сегодня не выходной и я пойду в кино»
			«Сегодня выходной или я не пойду в кино»

Решение:
Высказывание, составленное из высказываний и при помощи союза «и», называют конъюнкцией высказываний и и обозначают . Высказывание, составленное из высказываний и при помощи союза «или», называют дизъюнкцией высказываний и и обозначают .
Высказывание, составленное из высказывания при помощи частицы «не», называют отрицанием высказывания и обозначают .
В нашей формуле используются символы операции конъюнкции и отрицания, значит, соответствующее высказывание будет иметь вид « и не ». Учитывая, что = «Сегодня выходной», = «Я пойду в кино», получим высказывание «Сегодня выходной, и я не пойду в кино».

ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке
Тема: Основные понятия теории множеств

Дано множество . Тогда истинны следующие высказывания:

ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке
Тема: Числовые множества

Непустым является множество натуральных чисел, …

			квадрат которых равен 1
			больших 8 и меньших 9
			меньших 1
			квадрат которых равен 2

ЗАДАНИЕ N 6 сообщить об ошибке
Тема: Основные операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна

– множество двузначных чисел, – множество чисел, кратных 3. Тогда для числа 35 верны следующие утверждения …

ЗАДАНИЕ N 7 сообщить об ошибке
Тема: Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание квадрата дискретной положительной случайной величины равно , а ее среднее квадратичное отклонение . Тогда математическое ожидание, вычисленное при помощи формулы для расчета дисперсии , равно …

Решение:
Дисперсию случайной величины можно вычислить при помощи формулы, указанной в условии: . С другой стороны, средним квадратичным отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии: . Поэтому . Подставив указанное выражение в первую формулу, получим: .
Согласно условию, , .
Отсюда имеем: . Решая, получим .
В итоге математическое ожидание может принимать значения или . Учитывая, что рассматривается случайная величина, принимающая только положительные значения, заключаем, что математическое ожидание также величина положительная.
Таким образом, искомое значение .

ЗАДАНИЕ N 8 сообщить об ошибке
Тема: Основные понятия теории вероятностей. Свойства вероятностей

Производится испытание – подбрасывание монеты. Событие – «выпадение герба». Событие – «выпадение решки». Установите соответствие между действиями над событиями и их видом.
1.
2.

Решение:
Произведением двух событий и называют событие , состоящее в совместном появлении этих событий.
Произведением события – «выпадение герба» и события – «выпадение решки» будет событие, состоящее в одновременном осуществлении этих событий, но это невозможно, так при подбрасывании монеты может выпасть только одна сторона монеты. Событие называется невозможным в данном испытании, если оно не может произойти в данном испытании.
Суммой двух событий и называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий или , то есть или события , или события , или обоих этих событий.
Суммой события – «выпадение герба» и события – «выпадение решки» будет событие, состоящее в выпадении либо герба, либо решки. Поскольку в результате испытания (подбрасывания монеты) возможны только два элементарных исхода – может выпасть или герб, или решка, – то является достоверным событием. Событие называется достоверным в данном испытании, если оно обязательно должно произойти в данном испытании.

ЗАДАНИЕ N 9 сообщить об ошибке
Тема: Классическое определение вероятности

В урне 5 красных и 7 зеленых шаров. Из урны наудачу берут два шара. Вероятность того, что шары разноцветные, равна …

Решение:
Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов , благоприятствующих данному событию, к числу равновозможных элементарных исходов испытания:
.
В данной задаче событие состоит в том, что из урны взяты два разноцветных шара, то есть 1 красный и 1 зеленый.
Вычислим . Определим, сколькими способами можно взять 1 красный и 1 зеленый шар из имеющихся. Существует 5 способов извлечения красного шара и 7 способов извлечения зеленого шара. Для каждого извлеченного красного шара существует 7 способов извлечения зеленого шара. Поэтому общее число способов, которыми можно извлечь 2 шара разных цветов, равно .
Теперь найдем . Определим, сколькими способами можно взять два шара ( ) из имеющихся двенадцати шаров ( ). В этом нам поможет формула для нахождения числа сочетаний из элементов по : . Получим .
Используя полученные значения, найдем вероятность события : .

ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет вид:
,
а . Тогда вероятность равна …

			0,2
			0,6
			0,3
			0,15

Решение:
Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями , , …, этой величины и соответствующими им вероятностями :
,
где .
Равенство будем использовать для нахождения значения неизвестной вероятности . Тогда . Отсюда .
Согласно условию, , то есть . В итоге имеем .

ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке
Тема: Элементы теории вероятностей. Математика случайного

Произведено подбрасываний монеты. Относительная частота выпадения «герба» оказалась равной 0,55. Установите соответствие между – количеством выпадений «решки» – и числом проведенных испытаний.
1.
2.
3.

Решение:
Относительной частотой события называется отношение числа опытов , в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов : .
Опыт: подбрасывание монеты. Событие – «выпал герб». Событие – «выпала решка» – является противоположным для события , то есть состоит в том, что в результате испытания событие не произошло. Так как дано количество опытов, в которых проявилось событие , противоположное , то определим количество опытов, в которых произошло событие : . Тогда .
По условию задачи дана относительная частота . Выразим из формулы . Получим . Найдем для данных при постоянном . Если , то . Для получим и для имеем .

ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке
Тема: Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин. Нормальный закон распределения вероятностей

График функции плотности распределения непрерывной случайной величины, которая задана условием , имеет вид …