Криволинейный интеграл второго рода

Выберем декартову систему координат, совместим с ней ортонормированный базис .

Вычислим работу некоторой силы на криволинейном участке пути . Разобьем кривую на элементарных частей и соединим соседние точки кривой прямыми, получившиеся при этом хорды образуют ломаную линию, которая при достаточно большом мало отличается от кривой .

С учетом направления прохождения ломаной каждая элементарная хорда представляет собой вектор, обозначим его . Если достаточно большое, можно приближенно считать, что сила не меняется в пределах элементарного участка. Выберем на каждом элементе точку и подсчитаем в ней значение силы . Работа силы на участке , как известно, определяется скалярным произведением этих векторов. В ортонормированном базисе ,

. Тогда работа на элементарном участке примет вид

,

Работа силы на всей ломаной равна

,

то есть сумме, напоминающей интегральную сумму Римана.

Увеличиваем число разбиений, причем так, чтобы длина каждого элементарного отрезка уменьшалась, стремясь при к нулю. При этом условии ломаная практически не отличается от кривой , истинное значение работы, совершаемое силой при прохождении кривой

.

Поскольку работа, совершаемая силой при прохождении кривой конкретна, этот предел существует и имеет конечное значение. По аналогии считаем этот предел интегралом

.

Этот криволинейный интеграл второго рода дает истинное значение работы.

Отвлечемся от реального смысла задачи. В этом случае предел интегральной суммы существует не всегда. Отсюда получаем

Определение. Криволинейным интегралом второго рода называется предел интегральной суммы , если он существует и не зависит от способа разбиения кривой и выбора точек .

Вычисление криволинейного интеграла второго рода

I. Пусть кривая задана параметрически , точке соответствует значение параметра , для точки параметр .

По определению - координаты точки кривой , то есть удовлетворяют уравнению, тогда , и в соответствии с формулой, определяющей интеграл, имеем

.

Интегральная сумма в правой части не отличается от интегральной суммы Римана для функции одной переменной . Таким образом, вычисление криволинейного интеграла второго рода производится по формуле

.

Примечание. 1. Из полученной формулы следует, что все свойства определенного интеграла совпадают со свойствами криволинейного интеграла второго рода, в том числе

.

При вычислении криволинейного интеграла второго рода пределы интегрирования в определенном интеграле, следовательно, расставляются так – нижний предел соответствует начальной точке кривой, верхний – ее конечной точке.

II. Параметрическое уравнение плоской кривой имеет вид , следовательно,

.

III. При явном задании кривой поступаем следующим образом. В качестве параметра принимаем переменную , что позволяет использовать уравнение кривой в виде , тогда , и формула перехода от криволинейного интеграла второго рода к определенному интегралу запишется следующим образом

.

Примеры. Вычислить

1. , где - четверть окружности , расположенная в первой четверти. Запишем параметрическое уравнение этой окружности . Нетрудно заметить, что при прохождении этой части окружности от точки , лежащей на оси абсцисс, до точки на оси ординат параметр меняется от 0 до .

Поскольку , получаем

С помощью МАКСИМЫ

2. по дуге параболы от точки до

Поскольку , имеем

.

Теорема. Условием необходимым и достаточным независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования является равенство нулю интеграла по любому замкнутому контуру, содержащему точки и .

Необходимость. Изобразим замкнутую кривую , не налагая на нее никаких ограничений, кроме того, что точки и лежат на этой кривой. Пусть , то есть он не зависит от пути интегрирования. Переносим интеграл из правой части в левую

.

Используя свойства криволинейного интеграла второго рода, полностью совпадающие со свойствами определенного интеграла, получаем

.

Но

Таким образом, . Необходимость доказана.

Достаточность. Имеем , очевидно,

,

откуда следует

Теорема доказана.

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить интегралы

18.1. , дуга параболы , заключенная между точками до .

18.2. по дуге эллипса , расположенной в первой четверти.

18.3. , где арка циклоиды .

18.4. , прямая, соединяющая точки и .