![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Криволинейный интеграл второго рода
Выберем декартову систему координат, совместим с ней ортонормированный базис Вычислим работу некоторой силы С учетом направления прохождения ломаной каждая элементарная хорда представляет собой вектор, обозначим его
Работа силы на всей ломаной равна
то есть сумме, напоминающей интегральную сумму Римана. Увеличиваем число разбиений, причем так, чтобы длина каждого элементарного отрезка уменьшалась, стремясь при
Поскольку работа, совершаемая силой при прохождении кривой конкретна, этот предел существует и имеет конечное значение. По аналогии считаем этот предел интегралом
Этот криволинейный интеграл второго рода дает истинное значение работы. Отвлечемся от реального смысла задачи. В этом случае предел интегральной суммы существует не всегда. Отсюда получаем
Определение. Криволинейным интегралом второго рода
Вычисление криволинейного интеграла второго рода I. Пусть кривая По определению
Интегральная сумма в правой части не отличается от интегральной суммы Римана для функции одной переменной
Примечание. 1. Из полученной формулы следует, что все свойства определенного интеграла совпадают со свойствами криволинейного интеграла второго рода, в том числе
При вычислении криволинейного интеграла второго рода пределы интегрирования в определенном интеграле, следовательно, расставляются так – нижний предел соответствует начальной точке кривой, верхний – ее конечной точке. II. Параметрическое уравнение плоской кривой
III. При явном задании кривой
Примеры. Вычислить
1. Поскольку С помощью МАКСИМЫ
2. Поскольку
Теорема. Условием необходимым и достаточным независимости криволинейного интеграла второго рода Необходимость. Изобразим замкнутую кривую
Используя свойства криволинейного интеграла второго рода, полностью совпадающие со свойствами определенного интеграла, получаем
Но Таким образом, Достаточность. Имеем
откуда следует
Примеры для самостоятельного решения
Вычислить интегралы 18.1. 18.2. 18.3. 18.4.
|