Тройной интеграл

Задано тело, ограниченное гладкой поверхностью (поверхностью без особых точек). Тело не имеет линий самопересечения, то есть в каждой его внутренней точке паре значений и соответствует единственной значение .

Тело ограничено сверху относительно оси гладкой поверхностью , снизу поверхностью . Пусть область - проекция рассматриваемого тела на плоскость , причем уравнение линии, ограничивающей эту область относительно оси сверху, уравнение линии, ограничивающей область снизу, обе эти функции в заданной области непрерывны.

Рассмотрим задачу определения массы трехмерного тела, когда плотность является переменной величиной.

Разобьем тело плоскостями, параллельными координатным, на элементарных тел, объем каждого такого тела . Считаем достаточно большим, чтобы можно было считать плотность постоянной внутри каждого элементарного тела. Выберем в каждой элементарной области точку и подсчитаем массу элементарного тела

.

Рисунок 64.

Тогда приближенное значение массы всего тела. С увеличением числа разбиений при условии, что объем всех элементарных тел с ростом стремится к нулю, приближенное значение массы стремится к истинному ее значению, то есть точное значение массы рассматриваемого тела равно . Нетрудно заметить, что стоящая под знаком предела сумма является обобщением интегральной суммы Римана. Поскольку масса реального тела конечна, предел интегральной суммы существует и конечен. Назовем этот предел тройным интегралом, тогда

,

или

,

где - занимаемая телом область (область интегрирования).

Отвлечемся от реальной задачи и введем тройной интеграл от некоторой функции.

Определение. Тройным интегралом от функции по области называется предел интегральной суммы , если этот предел конечен и не зависит от способа разбиения области интегрирования и выбора точек .

Теорема (без доказательства). Тройной интеграл существует, если подынтегральная функция непрерывна в трехмерной области, ограниченной замкнутой гладкой поверхностью.

Сведение тройного интеграла к повторному

Поскольку тройной интеграл не зависит от способа разбиения тела на элементарные области, поступим следующим образом. Разобьем тело плоскостями . Двумерную область в каждом таком сечении, разобьем на площадок, площадь каждой из них .

Рисунок 65.

Тогда каждое элементарное тело, получившееся при таком разбиении, имеет объем , где . Выберем внутри каждого элементарного тела точку . Подсчитаем и просуммируем по и , в результате имеем

.

Увеличивая число разбиений и так, чтобы все и стремились при этом к нулю, подсчитаем предел этой интегральной суммы

.

Предел левой части этого равенства по определению есть тройной интеграл

.

В то же время, также по определению

,

и

.

Здесь и - плоскости, ограничивающие тело, проекция рассматриваемого тела на плоскость .

Ранее было доказано, что двойной интеграл сводится к повторному ,

причем, как уже говорилось выше, поверхность, ограничивающая рассматриваемое тело относительно оси сверху, поверхность, ограничивающая тело снизу, линия, ограничивающая область относительно оси сверху, линия, ограничивающая область снизу.

Итак, вычисление тройного интеграла сведено к трехкратному интегрированию

.

Пример 1. Вычислить , если тело - пирамида, ограниченная плоскостями . Тело ограничено снизу плоскостью , сверху плоскостью . Его проекция на плоскость представляет собой фигуру, ограниченную линиями , .Последнее уравнение получается из при , то есть представляет собой уравнение проекции указанной плоскости на плоскость .

Таким образом, областью является треугольник с вершинами . Тогда

.

С помощью МАКСИМЫ

Примечание. Подынтегральная функция в тройном интеграле равна единице, следовательно, в итоге получена хорошо известная формула объема пирамиды.

Пример 2. , ограничено поверхностью и плоскостями .

Проекцией на плоскость тела является треугольник с вершинами , изображенный на рисунке 66

Рисунок 66.

Тогда

.

Замена переменных в тройном интеграле

Примем без доказательства формулу перехода от координат к . Пусть , тогда

,

причем якобиан преобразования

.

Переход к цилиндрической системе координат

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами имеет вид , очевидно, ,

,

откуда следует

.

В результате имеем

.

Переход к сферической системе координат

Связь между декартовыми и сферическими координатами имеет вид , здесь расстояние от центра сферы до заданной точки, угол вдоль меридиана, отсчитывается от оси по часовой стрелке (для верхнего полюса сферы ), угол вдоль параллели, отсчитываемый против часовой стрелки от оси ( , ).

Отметим, что принятая система координат отличается от географических координат, в ней соответствует экватору.

Вычислим

,

,

.

Тогда

.

Итак, переход от декартовой системы координат к сферической осуществляется с помощью следующей формулы

.

Пример 1. Вычислить , если тело ограничено параболоидом и плоскостью .

Тело ограничено сверху параболоидом, снизу плоскостью .

Проекция параболоида на плоскость является окружностью радиуса 2 с центром в начале координат. Для того, чтобы в этом убедиться в уравнении параболоида положим , тогда из в плоскости получаем окружность . Область - есть круг .

Переходим к цилиндрической системе координат. Уравнение параболоида в цилиндрической системе координат

или .

Окружность, ограничивающая область , имеет уравнение , откуда следует . Тогда

.

Пример 2. Вычислить , если тело представляет собой половину шара , расположенного в верхнем полупространстве .

Тело сверху ограничено верхней полусферой, снизу плоскостью .

Поскольку уравнение проекции сферы на плоскость имеет вид , область есть круг .

Переходим к сферической системе координат

.

При этом

,

, или .

Чтобы пройти область, занимаемую телом, необходимо считать , что соответствует верхней половине шара, , .

Тогда

.

Примеры для самостоятельного решения

18.9. Вычислить , если тело ограничено поверхностями , , . Ответ .

18.10. Вычислить , если тело ограничено плоскостями , , . Ответ: .

18.11. Переходом к цилиндрической системе координат вычислить , если тело находится в области , , . Ответ .

18.12. Вычислить , переходя к сферическим координатам, если область ограничена поверхностью . Ответ .