Двойной интеграл

Рассмотрим практически важную задачу определения объема тела, недоступного для исследователя, когда становится невозможным традиционное определение объема с помощью вытесняемой этим телом жидкости.

Объем тела

Задано тело, ограниченное снизу частью плоскости , сверху гладкой поверхностью и некоторой цилиндрической боковой поверхностью. Простейшим примером этой задачи является определение объема снега, набитого в цилиндрическую бочку "с шапкой".

Пусть проекция этого тела на плоскость представляет собой область , причем имеет не равную нулю площадь, то есть не является линией или точкой.

Разобьем область на произвольных элементарных подобластей, площадь каждой из них . Выберем внутри каждой подобласти точку и восстановим из этих точек перпендикуляры до пересечения с поверхностью , очевидно, . Построим элементарные цилиндры, площадь основания каждого из них , высота . Вычислим суммарный объем всех этих цилиндров

или

.

Очевидно, дает приближенное значение объема заданного тела. Если увеличивать число площадок разбиения , следя за тем, чтобы площадь каждой элементарной площадки уменьшалась, то при очень больших значениях приближенное значение объема тела будет мало отличаться от объема тела.

Истинное значение объема тела может быть подсчитано с помощью формулы

.

Так как функция под знаком предела представляет собой вариант интегральной суммы Римана, можно ввести интеграл, равный пределу этой интегральной суммы

или

.

Такой интеграл называют двойным интегралом, поскольку интегрирование проводится по двумерной области , называемой областью интегрирования, а, следовательно, по двум переменным и .

Поскольку объем реального тела конечен, предел интегральной суммы существует и имеет конечное значение, существует и двойной интеграл.

Если ставить задачу абстрактно, не связываясь с реальностью, предел интегральной суммы, а значит и двойной интеграл может не существовать.

При установлении необходимого и достаточного условий существования двойного интеграла приходится столкнуться с проблемой, решаемой ранее при изучении интеграла Римана. Не вдаваясь в тонкости этого исследования, примем без доказательства, что для существования двойного интеграла достаточно, чтобы подынтегральная функция была непрерывной в замкнутой области интегрирования .

Основные свойства двойного интеграла

1. для постоянной.

Доказательство.

.

2.

Доказательство.

.

3. , если (без доказательства).

Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла осуществляется сведением его к повторному интегралу, то есть к вычислению определенного интеграла сначала по одной переменной, затем по другой. Такое сведение производится при помощью следующей леммы.

Лемма. Объем тела может быть вычислен по формуле , где площадь сечения тела плоскостью const., и - плоскости, ограничивающие заданное тело.

Доказательство.

Разобьем область, занимаемую телом, плоскостями на элементарных подобластей и заменим эти элементарные тела цилиндрами, причем площадь основания каждого цилиндра совпадает с площадью сечения тела соответствующей плоскостью, высота . Суммарный объем этих цилиндров , с одной стороны, дает приближенное значение объема рассматриваемого тела, с другой стороны, представляет интегральную сумму Римана.

Увеличивая число разбиений области , следя за тем, чтобы все при этом уменьшались, определяем объем заданного тела все более точно. Наконец, переходя к пределу , получаем точное значение объема тела. Но, как известно, предел интегральной суммы Римана, если он существует и не зависит от способа разбиения области, является определенным интегралом. Следовательно, , что требовалось доказать.

I. Вычислим объем тела, ограниченного плоскостями , , , , и поверхностью , то есть призмы с "крышкой". Для этого воспользуемся формулой , причем область , представляет собой проекцию призмы на плоскость , то есть прямоугольник, изображенный на рисунке 54

Рисунок 54.

Чтобы воспользоваться формулой , рассекаем тело плоскостями . Каждое сечение представляет собой трапецию, основанием которой является отрезок вертикальной прямой в области , изображенной на рисунке 54. Из рисунка следует, что длины оснований всех трапеций одинаковы, так как расположены между параллельными прямыми и . Трапеция в сечении ограничена сверху линией . Площадь каждой трапеции равна , что следует из геометрического смысла определенного интеграла. Тогда в соответствии с леммой

.

Таким образом, двойной интеграл сводится к повторному, то есть к двум определенным интегралам

,

при этом сначала вычисляется внутренний интеграл (по ) затем внешний интеграл (по ).

II. Вычисление интеграла по более сложной, чем прямоугольник, области . Пусть области - часть плоскости , ограниченная линиями , , , и изображенная на рисунке 55

Рисунок 55.

В этом случае тело, объем которого равен вычисляемому интегралу, представляет собой цилиндр, ограниченный снизу плоскостью , сверху поверхностью . Направляющей цилиндра является замкнутый контур, ограничивающий область .

Рассекаем тело плоскостями . В каждом сечении получаем трапеции, их основаниями являются отрезки вертикальных прямых, изображенных на рисунке 55. В отличие от предыдущего случая, основания этих трапеций уже не равны и, как это видно из рисунка, находятся между точками , . Тогда площадь трапеции в плоскости вычисляется с помощью определенного интеграла . В соответствии с леммой получаем

.

Двойной интеграл опять сводится к повторному, то есть к двум определенным интегралам, однако, пределы внутреннего интеграла зависят от .

Замечание. Результат не зависит от того, по какой переменной осуществляется внутреннее и внешнее интегрирование, то есть

.

Как уже говорилось выше, линии , ограничивают область слева и справа, линии , ограничивают ее снизу и сверху. Линии , ограничивают область интегрирования снизу и сверху, и - уравнения линий, ограничивающих ее слева и справа.

Пример 1.

Вычислить , область ограничена линиями , , , . Таким образом, область интегрирования представляет прямоугольник, следовательно, имеет место случай I. Тогда

.

Вычислим по частям внутренний интеграл

,

Вычисляем внешний интеграл . Итак, .

С помощью МАКСИМЫ

Пример 2.

Вычислить по области, задаваемой неравенствами и . Область интегрирования – верхняя из двух получаемых в этом случае областей (рисунок 56)

Рисунок 56.

Сечения const. показывают, что вход в область интегрирования осуществляется через прямую , выход из области происходит через верхнюю полуокружность . Тогда

.

Вычисляем внутренний интеграл

.

Теперь вычисляется внешний интеграл

.

Таким образом, .

Пример 3. Вычислить , если область ограничена линиями . Рассмотрим два способа вычисления интеграла.

1 способ. Пусть внешнее интегрирование по , внутреннее – по . Штрихуем область интегрирования вертикальными прямыми const. (рисунок 57 a). Нетрудно заметить, что если идти от меньших значений к большим, точки входа в область интегрирования лежат на прямой , точки выхода расположены на параболе .

а) в)

Рисунок 57.

Очевидно,

.

2 способ. Пусть внешнее интегрирование по , внутреннее – по . В этом случае штрихуем область прямыми const. (рисунок 57 в) и проходить ее нужно слева направо. Из рисунка следует, что область интегрирования разбивается на две и . Область находится между прямыми и , область - между прямыми и . Тогда

=

.

Вычислим интегралы

Ответ .

Оба способа дали, естественно, один ответ, однако второй способ привел к необходимости разбивать область интегрирования на две, что усложнило вычисление интеграла.

Формула Грина

Установим связь между криволинейным интегралом второго рода и двойным интегралом. Докажем так называемую формулу Грина

.

Здесь область интегрирования двойного интеграла, замкнутый контур, ограничивающий область (рисунок 58).

Рисунок 58.

его верхняя часть имеет уравнение , уравнение его нижней части . С учетом этого область можно изобразить следующим образом (рисунок 59)

Рисунок 59.

Рассмотрим интеграл

.

При выведении этой формулы сначала двойной интеграл сводится к повторному, затем проводится внутреннее интегрирование по , после чего получаются два интеграла Римана, которые сводятся к двум криволинейным интегралам второго рода, что в конечном итоге дает криволинейный интеграл по замкнутому контуру .

Для доказательства второй части формулы Грина рисунок 58 заменим рисунком 60,

Рисунок 60.

причем область изменения , кроме того, уравнение левой стороны контура задается уравнением , правой его части . Тогда

.

При проведении этих преобразований используется описанная выше процедура приведения двойного интеграла к криволинейному, отличие в том, что вначале проводится интегрирование по , затем по .

Объединяя обе формулы, приходим к формуле Грина

.

Примечание. При рассмотрении криволинейных интегралов второго рода было установлено, что он не зависит от пути интегрирования, если интеграл по любому замкнутому контуру, содержащему начальную и конечную точки интегрирования, равен нулю. Применение формулы Грина позволяет дать более удобную для применения формулировку этой теоремы.

Теорема. Условием, необходимым и достаточным независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования, является .

Доказательство. Ранее было доказано, что интеграл по любому замкнутому контуру, содержащему точки и в этом случае равен нулю. Следовательно, в формуле Грина правый интеграл равен нулю, значит, равен нулю и левый интеграл, что возможно лишь при .

Пример.

Вычислить интеграл , если , .

Очевидно, , , то есть выполняется условие независимости интеграла от пути интегрирования. Вычислим интеграл по ломаной , изображенной на рисунке 61

Рисунок 61.

.

Замена переменной в двойном интеграле

Традиционный вывод перехода в двойном интеграле от старых переменных к новым достаточно громоздок и труден для восприятия. Предлагается проделать этот путь с помощью формулы Грина.

Пусть в интеграле требуется перейти к переменным

Используем формулу Грина, считая :

.

Проведем в контурном интеграле упомянутую замену переменных

,

где

.

Применяя еще раз формулу Грина, возвращаемся к двойному интегралу, но уже относительно новых переменных

.

Остается вычислить вошедшие в интеграл производные

,

.

Теперь вычислим

.

Обозначим

и назовем это выражение Якобианом преобразования, после чего приходим к формуле, определяющей замену переменных

.

Таким образом, при замене переменных в двойном интеграле в отличие от замены переменных в уже известных интегралах появляется Якобиан преобразования

.

Переход от декартовой системы координат к полярной

Поскольку нам известны только две системы координат на плоскости – декартова и полярная, связанные соотношениями , осуществим в двойном интеграле переход от одной системы координат к другой.

Очевидно, якобиан преобразования в этом случае имеет вид

.

В результате

.

Пример 1.

Вычислить интеграл по кольцу, ограниченному окружностями и . Используем формулы перехода от декартовых координат к полярным . Поскольку и , уравнения окружностей, ограничивающих область интегрирования, и . Делаем замену переменных в двойном интеграле . Определимся с порядком интегрирования: пусть внешнее интегрирование происходит по , тогда область интегрирования рассекается (штрихуется) лучами :

Рисунок 62.

Нетрудно заметить, что после перехода к полярным координатам область интегрирования проходится полностью, если изменять от нуля до , а от до . Итак,

.

Пример 2. Вычислить интеграл по области, ограниченной окружностью , ее каноническое уравнение .

Переходим к полярной системе координат, уравнение окружности принимает вид или , интеграл

.

Выбираем внешнее интегрирование по , тогда область интегрирования штрихуется следующим образом

Рисунок 63.

Для прохождения всей области интегрирования внешний интеграл необходимо вычислять в пределах , внутренний - от полюса до линии выхода из области интегрирования . Итак,

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить двойные интегралы

18.5. , область, ограниченная линиями .

Ответ .

18.6. , область, ограниченная линиями .

Ответ .

18.7. , область, ограниченная окружностью .

Ответ .

18.8. , область, ограниченная линиями , , . Ответ .