Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Интерполяционные формулы и их остаточные члены




Читайте также:
  1. Бог расположил члены, каждый в составе ТЕЛА, как ЕМУ было угодно»(1Корин.12,18). «И беспрекословно ВЕЛИКАЯ ТАЙНА: БОГ ЯВИЛСЯ ВО ПЛОТИ»(1Тимоф.3,16).
  2. Бывшие и нынешние члены Комитета 300
  3. Бывшие и нынешние члены комитета 300
  4. БЫВШИЕ И НЫНЕШНИЕ ЧЛЕНЫ КОМИТЕТА 300
  5. Вывод рабочей формулы
  6. Г.К. – А остальные члены Вашей семьи? Кто-то еще выжил, кроме сестры?
  7. Граждане, а не члены религиозной организации
  8. ЗАДАНИЕ: Выведите формулы 1, 2 и 3
  9. Изобилующие и недостаточные глаголы

В интерполяционных формулах используется нормированный аргумент

. (9)

1) Первая интерполяционная формула Ньютона (интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования вперед – применяется, как правило, для вычисления значений функции в начале таблицы разностей):

+

+ , (10)

или

, (11)

где рекуррентные коэффициенты вычисляются следующим образом:

, а ; (i = 1, 2, …, n). (12)

 

2) Вторая интерполяционная формула Ньютона (интерполяционныймногочлен Ньютона для интерполирования назад – применяется, как правило, для вычисления значений функции в конце таблицы разностей):

+

+ . (13)

3) Интерполяционная формула Бесселя (центральных разностей):

+

+ + …

+

+ . (14)

 

4) Интерполяционная формула Лагранжа (одна из формул, применяемая для неравноотстоящих узлов)

 

(15)

Пример1.В табл.2 приведены экспериментальные данные (столбцы 1 и 2) и конечные разности (столбцы 3–6) при их горизонтальном расположении. С этими табличными данными необходимо установить наличие ошибки в экспериментальном значении функции, устранить ее и составить исправленную таблицу конечных разностей.

Решение. Из табл.2 видно, что третьи разности совершенно беспорядочны около середины столбца, еще более беспорядочны четвертые разности. Из этого заключаем, что в значение функции при x = 40 вкралась ошибка. Движение ошибки заключено в жирную рамку. Для определения величины ошибки сначала вычислим по (8), учитывая, что i = 5, исправленное значение разности второго порядка:

= (–83 – 103 – 106)/3 = –293/3.

Т а б л и ц а 2

К примерам 1 и 2

x
–61 –13 –61 –13 +1
–74 –9 –11 –74 –12 +1
–83 –20 –86 –11 –1
–103 –3 –11 –97 –12 +1
40 –106 –14 –109 –11
–120 –11 –120 –11 +2
–131 –9 –3 –131 –9 –3
–140 –12   –140 –12  
–152     –152    
           
               

Теперь по формуле (7) вычисляем :



.

Выражение (6) дает возможность вычислить исправленное значение функции:

.

С этим исправленным значением функции составляем новую таблицу разностей (табл.2, столбцы 7–12), из которой видно, что после внесения поправки в значение функции для x = 40 результаты получились более сглаженными. Для сравнения исправленная часть таблицы также заключена в жирную рамку.

Пример2. Используя данные в столбцах 7–12 табл.2, установить, разностями какого порядка следует выполнить вычисления, и по первой формуле Ньютона и формуле Бесселя вычислить значение функции для x = 37 (h = 5).

Решение. Рассмотрим разности третьего порядка. В этом случае , , . Из данных табл.2 получаем:

, ,

т.е. ни одно из условий (5) не выполняется.



Теперь рассмотрим , , . В этом случае

, ,

поэтому в данном примере достаточно использовать разности третьего порядка.

Далее определяем нормированную величину (для x = 37) по формуле (9): .

Для применения формулы Ньютона по рекуррентным соотношениям (12) вычисляем коэффициенты :

; ;

; .

По формуле (11) находим искомое значение функции (в пределах точности данных табл.2):

=

= 34290 + 1861 + 12 - 1 = 36162.

По формуле Бесселя (18) получим следующий результат:

= = 36162.

Как видим, результаты, полученные по формулам Ньютона и Бесселя, с точностью округлений совпадают.

 


Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 7; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.016 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты